Límite de cálculo de$\sqrt{n^2+n}-\sqrt[4]{n^4+1}$

Question

He tratado de resolver este uso conjugado de la multiplicación, pero me atoré después de factorizando $n^2$.

$\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^2+n-\sqrt{n^4+1}}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt[4]{n^4+1}} &=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n(1+\dfrac{1}{n}-\sqrt{1+\dfrac{1}{n^4}})}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt[4]{1+\dfrac{1}{n^4}}}\\& =\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n+1-n\sqrt{1+\dfrac{1}{n^4}}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt[4]{1+\dfrac{1}{n^4}}} \end{align}$

Dado que el $\dfrac{1}{n}$ tiende a $0$ (de modo que el denominador es 2), puede reducir la $n$ $-n\sqrt{1+\dfrac{1}{n^4}}$ y se dice que el límite es de $\dfrac{1}{2}$?

Me refiero a $\dfrac{1}{n^4}$ tiende a $0$, lo $\sqrt{1+\dfrac{1}{n^4}}$ tiende a $1$ y en este caso $n-n\sqrt{1+\dfrac{1}{n^4}}$ puede ser simplificado a $n-n$.

La solución dada en mi libro utiliza conjugado de la multiplicación de dos veces para deshacerse de todas las raíces en el denominador, pero tengo curiosidad de saber si mi respuesta es correcta o mi maestro me va a decir que la simplificación de la forma en que lo hice es incorrecta.

Answer 1

Un método simple es intentar agregar términos para dar límites superior e inferior para las raíces dadas. Uno puede confirmar (y no es difícil de encontrar, tampoco)$$ \left( n + \frac{1}{2} - \frac{1}{8n} \right)^2 < n^2 + n < \left( n + \frac{1}{2} \right)^2 $ $$$ n^4 < n^4 + 1 < \left( n + \frac{1}{4n^3} \right)^4 $ $ Juntos, obtenemos$$ \frac{1}{2} - \frac{1}{8n} - \frac{1}{4n^3} \; \; < \; \; \sqrt{n^2+n}-\sqrt[4]{n^4+1} \; \; < \; \; \frac{1}{2} $ $ Algunas personas llaman a esto el Teorema de compresión, el límite es$\frac{1}{2} $

Answer 2

Necesitas mostrar que$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n-n\sqrt{1+\frac1{n^4}}\right)=0$. No puedes simplemente usar ese$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac1{n^4}}=1$ desde$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac1n}=1$, sin embargo,$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n-n\sqrt{1+\frac1n}\right)=-\frac12$.

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Si está buscando un enfoque alternativo, tenga en cuenta que$a^4-b^4=(a-b)\left(a^3+a^2b+ab^2+b^3\right)$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \sqrt{n^2+n}-\sqrt[4]{n^4+1} &=\frac{\left(n^2+n\right)^2-\left(n^4+1\right)}{\scriptsize\left(n^2+n\right)^{3/2}+\left(n^2+n\right)\left(n^4+1\right)^{1/4}+\left(n^2+n\right)^{1/2}\left(n^4+1\right)^{1/2}+\left(n^4+1\right)^{3/4}}\\ &=\frac{2+\frac1n-\frac1{n^3}}{\scriptsize\left(1+\frac1n\right)^{3/2}+\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac1{n^4}\right)^{1/4}+\left(1+\frac1n\right)^{1/2}\left(1+\frac1{n^4}\right)^{1/2}+\left(1+\frac1{n^4}\right)^{3/4}} \end {align} $$

Answer 3

Debe de

Answer 4

Dejar $t = \frac1n$

Luego use la fórmula derivada en$t = 0$,$$ \begin{align}\lim_{n\to\infty}\sqrt{n^2+n}-\sqrt[4]{n^4+1} &= \lim_{n\to\infty} n\left(\sqrt{\frac{1}{n}+1}-\sqrt[4]{\frac{1}{n^4}+1}\right) \\&= \lim_{t\to0}\frac{1}t(\sqrt{t+1}-\sqrt[4]{t^4+1})\\&= \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{t+1}-1}{t} - \frac{\sqrt[4]{t^4+1}-1}{t} \\&=\left(\sqrt{t+1}\right)'\bigg|_{t =0 } -\left(\sqrt[4]{t^4+1}\right)'\bigg|_{t =0 }= \frac{1}{2}\end{align} $ $