Estoy leyendo una prueba de que finito de dimensiones de los subespacios de normativa espacios vectoriales han cerrado suma directa de los complementa. Esta es la prueba:
Deje $\{e_1, ..., e_n\}$ ser una base para $\mathcal M$. Cada $x \in \mathcal M$ has then a unique representation $x = \alpha_1(x)e_1 +...+ > \alpha_n(x)e_n$. Each $\alpha_i$; es una funcional lineal continua en $\mathcal M$ (lineal mapa de espacio de dimensión finita es siempre continua), que se extiende a un miembro de $\mathcal X^*$, por el De Hahn-Banach teorema ($\mathcal X^*$ es el doble de $\mathcal X$). Vamos $\mathcal N$ ser la intersección de la nulos espacios de estas exten siones. A continuación,$\mathcal X = \mathcal M\oplus \mathcal N$.
Yo seguimos hasta la última frase. Claramente $\mathcal N$ es cerrado, como es la intersección de conjuntos cerrados (la inversa de a $0$ bajo cualquier función continua, y, en particular, cualquier funcional lineal sobre un espacio vectorial, es cerrado). También es fácil ver que $\mathcal M \cap \mathcal N= \{0\}$, ya que si algunos $m\in\mathcal M$ está en cada espacio nulo, debe tener el cero coeficiente para cada base de vectores, y así debe ser cero.
Mi pregunta: ¿por Qué tenemos $\mathcal X =\mathcal M + \mathcal N$? Esto parece sólo si la extensión dada por Hahn-Banach es cero fuera de $\mathcal M$, pero no veo ninguna razón por qué esto debería ser el caso.
