¿El tiempo se mueve más lentamente en el ecuador?

Question

Al responder a la pregunta Satélite GPS - Relatividad especial se me ocurrió que el tiempo correría más lentamente en el ecuador que en el Polo Norte, porque la superficie de la Tierra se mueve a unos 464m/s en comparación con el Polo Norte. La diferencia debería estar dada por:

$$ \frac {1}{ \gamma } \approx 1 - \frac {1}{2} \frac {v^2}{c^2} $$

y en $v$ = 464m/s que obtenemos:

$$ \frac {1}{ \gamma } \approx 1 - 1.2 \times 10^{-12} $$

Esta es una diferencia minúscula, unos 4 días en los 13.700 millones de años de vida del universo, pero según Wikipedia la precisión de los relojes atómicos actuales es de aproximadamente 1 parte en 10 $^{14}$ así que la diferencia debería ser medible. Sin embargo, nunca he oído hablar de ninguna medida de la diferencia. ¿Hay algún defecto en mi razonamiento o simplemente no he estado leyendo los diarios correctos?

Answer 1

La diferencia sería efectivamente medible con los relojes atómicos de última generación, pero no existe: se anula. Las razones se reducen en realidad a los primeros experimentos mentales que realizó Einstein cuando se dio cuenta de la importancia del principio de equivalencia para la relatividad general - fue en Praga alrededor de 1911-1912. Véase, por ejemplo, el final de

http://motls.blogspot.com/2012/09/albert-einstein-1911-12-1922-23.html?m=1

para recordar la derivación original de Einstein del corrimiento al rojo gravitacional que implica el carrusel.

Los argumentos para la configuración de John pueden verse, por ejemplo, en este documento:

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0501034

Hay un sentido en el que el marco de referencia "geocéntrico" que gira junto con la Tierra cada 24 horas es más inercial que el marco en el que la Tierra gira.

Consideremos un litro de agua en algún lugar -cerca de los polos o del ecuador- a nivel del mar. Mantén su velocidad relativa a la superficie de la Tierra (en rotación) diminuta, como lo que es fácil de conseguir en la práctica.

Ahora, comprobemos la conservación de la energía en el marco de rotación de la Tierra. La energía se conserva porque este fondo -incluso en las coordenadas de rotación "aparentemente no inerciales"- es asintóticamente estático, invariante bajo traslaciones en el tiempo.

La energía se conserva, pero la energía potencial de un litro de agua estático (en este marco) puede calcularse como $$m_c^2 \sqrt{|g_{00}|}. $$ Porque el $00$ -El componente del tensor métrico es esencialmente el potencial gravitacional (que normalmente se llama "gravitacional más centrífugo" en el marco "inercial ingenuo" en el que la Tierra gira) y es constante a nivel del mar en todo el mundo, $g_{00}$ que codifica la ralentización gravitatoria en función del lugar en el campo gravitatorio debe ser constante también en todas partes a nivel del mar.

En el marco "inercial normal" en el que la Tierra gira, la dilatación temporal relativista especial se compensa por el hecho de que la Tierra no es esférica, y el potencial gravitatorio es, por tanto, menos negativo, es decir, "menos ligado" al nivel del mar cerca del ecuador.

Algunos cálculos que implican la forma de elipsoide de la Tierra pueden producir una cancelación inexacta. (Ese error puede atribuirse a suposiciones no del todo correctas de que la densidad de la masa de la Tierra es uniforme, etc., suposiciones que suelen hacerse para que el problema sea manejable). Pero un argumento más conceptual muestra que la forma no esférica de la Tierra es una consecuencia de la fuerza centrífuga. Cuantitativamente, esta fuerza se deriva del potencial centrífugo y, por tanto, este potencial centrífugo debe añadirse naturalmente al potencial gravitatorio normal para calcular la dilatación temporal especial-relativista-más-gravitatoria completa. Esto aclara por qué este cálculo particular es más fácil de hacer en el marco que gira junto con la superficie de la Tierra y el efecto se cancela exactamente.

Permítanme mencionar que la métrica del espaciotiempo en el marco que gira junto con la Tierra no es la métrica plana de Minkowski. Si permitimos que el marco gire con la Tierra, acabamos de eliminar "al máximo" los efectos ligados a la fuerza centrífuga y las correspondientes correcciones del corrimiento al rojo. Sin embargo, en este marco que gira con la Tierra, sigue existiendo la fuerza de Coriolis. En el lenguaje de la métrica relativista general, la aceleración de Coriolis añade algunos elementos no triviales fuera de diagonal al tensor métrico. Estas desviaciones de la planitud son responsables del efecto geodésico y del arrastre del marco.

Todo argumento que demuestre la anulación exacta del efecto relativista especial debe utilizar el principio de equivalencia en un punto u otro; cualquier argumento que evite este principio -o cualquier otra cosa de la relatividad general- está garantizado que es incorrecto porque por separado (sin la gravedad y sus efectos), el efecto relativista especial está ciertamente ahí.

Answer 2

Las respuestas actuales de Luboš y David explican bien por qué es esencial incluir la relatividad general en el panorama. De hecho, esto es aún más un problema porque las irregularidades en la forma de la Tierra hacer asunto.

Es bastante fácil entender el porqué: desde 2010 se sabe que los relojes atómicos son sensibles a diferencias de altura tan pequeñas como un pie ( Comunicado de prensa del NIST , papel , doi ). Con este tipo de sensibilidad, ¿cómo se pueden sincronizar los relojes atómicos en altitudes superiores a 1 km? Por ello, el Tiempo Atómico Internacional incluye correcciones para reescalar la frecuencia de cada reloj que contribuye al nivel medio del mar, y lo ha hecho desde los años setenta .

Esto se agrava por el hecho de que la "altitud relativa" ni siquiera es medible localmente, y es en cierto modo una propiedad global del campo gravitatorio de la Tierra. Esto se debe a que lo que realmente importa es la diferencia de potencial gravitatorio entre los dos relojes, que puede verse afectada por cambios en la distribución de la masa entre los dos relojes pero lejos de cada uno de ellos. Lo que realmente importa, por tanto, es la forma del geoide y la altura relativa de cada laboratorio con respecto a ella.

Esto es malo por dos razones. La primera es que el geoide puede efectivamente cambiar de forma medible ( ejemplo ), impulsado por cosas como los terremotos, las placas tectónicas e incluso las mareas y los ciclos del agua. La segunda es que estos cambios no son detectables localmente, porque los cambios en el geoide afectan al potencial gravitatorio local (en relación con un punto en el infinito) pero no afectan al campo gravitatorio local, que es esencialmente uniforme a nivel local.

Una cosa que puede Sin embargo, lo que se puede hacer es darle la vuelta a este problema de sincronización, y ver sus relojes atómicos como una forma de medir el geoide, y esto sí se ha propuesto ( Artículo de Phys.org , preimpresión , doi ).

Con todo esto en mente, entonces, está claro que sí tenemos la capacidad de medir el efecto relativista especial que mencionas, aunque no se anule exactamente de la manera señalada por Luboš. Sin embargo, hay muchos otros efectos que hay que tener en cuenta, y ahí es donde está la ciencia importante y actual.

Answer 3

¿Hay algún fallo en mi razonamiento o simplemente no he leído las revistas adecuadas?

Sí. El fallo es que estás ignorando la relatividad general. Los polos están más cerca del centro de la Tierra y, por lo tanto, se encuentran más profundamente en el pozo gravitatorio de la Tierra que el ecuador. Los efectos combinados del tiempo gravitacional y de la relatividad especial hacen que los relojes a nivel del mar mar marquen el mismo ritmo. Más concretamente, los relojes de la superficie del geoide funcionan a la misma velocidad.

Answer 4

Si miras a la Tierra geoide En este caso, se puede ver que no hay una "banda" particular de variación gravitacional a lo largo del ecuador. Por lo tanto, aunque el tiempo se mueva más lento/rápido en diferentes lugares del planeta, no está correlacionado con el ecuador.

Aquí está, creo, el último modelo, en 2D :

Y también hay un muy buena animación 3D aquí .

En cuanto a la capacidad de medir estas diferencias con los relojes atómicos, sí que se notan. Por ejemplo, de un experimento del NIST que demuestra que el tiempo se mueve más rápido a tu cabeza que a tus pies :

En una serie de experimentos, los científicos elevaron uno de los relojes levantando la mesa láser hasta una altura de un tercio de metro (aproximadamente un pie) por encima del segundo reloj. Efectivamente, el reloj más alto funcionaba a una velocidad ligeramente superior a la del reloj más bajo, exactamente como se preveía.