Polinomio caracteristico modulo 12

Question

Considere el espacio vectorial $V =\left\{a_0+a_1x+\cdots+a_{11}x^{11},\;a_i\in\mathbb{R}\right\}$. Definir un operador lineal $A$ a $V$ por $A(x^i) = x^{i+4}$ donde $i + 4$ es tomado del modulo $12$.

Encontrar $(a)$ el polinomio mínimo de a$A$ e $(b)$ el polinomio característico de a$A$.

Yo:

Yo coulnot encontrar de otra manera, así que he intentado el método de la fuerza bruta. $\:$Me encontré con la representación de la matriz del operador es $$A=\begin{bmatrix} 0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\\end{bmatrix}.$$

El polinomio característico he encontrado a ser $\lambda^{12}-4\lambda^9+6\lambda^6-4\lambda^3+1$.$\:$(Me tomó casi 40 minutos. $\:$Es que hay otra forma de hacer este problema? Proporcionar consejos o sugerencias, por favor.

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Llevar adelante la respuesta proporcionada por $\textbf{Servaes}$ "El polinomio mínimo de a$A|_{U_i}$ aún $X^3−1$." Tomando $U_1=span\{x_1,x_5,x_9\}$ vemos a $A(x)=x^5,\:A^2(x)=x^9,\:A^3(x)=x\implies (A^3-I)=0$ y dado que los factores en lineal irredeucible factores, tenemos el polinomio mínimo de a$A|_{U_i}$ es $X^3−1$.

Completar la prueba: Nos muestran que el polinomio característico de a$A$ es el producto de los polinomios característicos de $A|_{U_i}$ donde $V=\oplus U_i$. Hemos visto que el polinomio mínimo de a$A|_{U_i}$ es $X^3−1$ que es precisamente el polinomio característico. Así que vamos a $p_i(\lambda)$ es el polinomio característico correspondiente al autovalor $\lambda_i$ e invariante en el subespacio $U_i$ e $p(\lambda)$ es el polinomio característico de A. a Continuación, $\displaystyle p(\lambda_i)=0 \:\forall\;i \implies p_i(\lambda)|p(\lambda) \:\forall\;i \implies p(\lambda)=\prod_ip_i(\lambda)$.

$\Big($$p(\lambda)$ es al menos $\displaystyle\prod_ip_i(\lambda)$. Si $\exists\lambda\neq\lambda_i \forall\: i$ tal que $p(\lambda)=0$ entonces $V$ no $\oplus U_i$ $\Big)$

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Mínimo polinomio : $X^3-1\qquad$ polinomio Característico : $(X^3-1)^4$.

Answer 1

En general ayuda a encontrar alguna relación no trivial de que el operador dado satisface. Claramente $$A^3(x^i)=x^{i+12}=x^i,$$ para todos los $i$, lo $A$ es un cero de $X^3-I$. Este factores como $$X^3-I=(X-I)(X^2+X+I),$$ que no tiene repetido factores, por lo que este es el polinomio mínimo de a$A$. El polinomio característico tiene el mismo irreductible factores y tiene un grado $12$, por lo que el polinomio mínimo es igual a $$(X-I)^a(X^2+X+I)^b,$$ para algunos enteros positivos $a$ e $b$ satisfacción $a+2b=12$.

Tenga en cuenta que $a$ es la expresión algebraica multiplicidad del autovalor $1$, que es, al menos, $4$porque $$1+x^4+x^8,\qquad x+x^5+x^9,\qquad x^2+x^6+x^{10},\qquad x^3+x^7+x^{11},$$ son cuatro linealmente independiente de vectores propios con autovalor $1$. Por lo $(a,b)$ es $(4,4)$, $(6,3)$, $(8,2)$ o $(10,1)$.

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El siguiente es un poco artificial y supone implícitamente un poco de ideas avanzadas, pero es una (casi) cálculo libre de manera de determinar el polinomio característico:

Para $i\in\{1,2,3,4\}$ deje $U_i:=\operatorname{span}(x^i,A(x^i),A^2(x^i))$. A continuación, $U_i\cap U_j=0$ siempre $i\neq j$, y el $U_i$ en conjunto abarcan $V$ y son invariantes bajo $A$. Esto produce una descomposición $$V=U_1\oplus U_2\oplus U_3\oplus U_4,$$ de $A$-subespacios invariantes. El polinomio mínimo de a$A\vert_{U_i}$ aún $X^3-1$ (verifique esto!), por lo tanto es el polinomio característico de la restricción. El polinomio característico de a$A$ es el producto de los polinomios característicos de la $A\vert_{U_i}$, por lo que es $(X^3-1)^4$.