Comportamiento de$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} z^{n!}$ en el círculo unitario

Question

Estoy tratando de comprender el comportamiento de $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} z^{n!}$ sobre el círculo unidad.

Puesto que para cada una de las $m$th raíz de la unidad $\zeta_m$ $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \zeta_m^{n!} = C + \sum_{n=m}^\infty \frac{1}{n} = \infty$$ se sostiene por algunos $C \in \mathbb{C}$, la serie diverge para todos los $e^{\varphi \pi i}$ con $\varphi \in \mathbb{Q}$.

Pero, ¿qué sucede para $\varphi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$?

¿Las series divergen en todas partes, o hay puntos donde es convergente?

Answer 1

La suma converge para $z = e^{2\pi i\varphi}$ para $\varphi = \frac{1}{2}\frac{1}{1!}+\frac{1}{2}\frac{1}{3!}+\frac{1}{2}\frac{1}{5!}+\frac{1}{2}\frac{1}{7!}+...$ . La razón es que para $n$ impar, $n!\varphi \pmod{1}$ es básicamente $\frac{1}{2}$ , mientras que para $n$ par, $n!\varphi \pmod{1}$ es básicamente $0$ .