¿$a_{n}/a_{n-1}$ Convergen a la proporción áurea para todas las secuencias de Fibonacci-como?

Question

Ayer un amigo me retó a demostrar que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\varphi\; ,$$ donde $\varphi$ es la proporción áurea, para la serie de Fibonacci.

Comencé a reescribir el límite como

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{a_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}1+\frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}\; .$$

Si la secuencia de $b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}$ es convergente,

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}=\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}\right)^{-1}\; .$$

El cambio de nombre de la deseada límite de $x$, se obtiene la ecuación cuadrática

$$x=1+\frac{1}{x}$$ $$x^2-x-1=0$$

si $x\neq 0$. Por lo tanto, si $b_n$ es convergente, debe ser igual a $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ o $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

Desde $a_n>0$, $b_n>0, \forall n$, por lo que el límite debe ser igual a $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Esto prueba que me hizo pensar que yo no hacer uso de los valores iniciales de la secuencia, así que debe ser cierto para cualquier secuencia donde $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$. La primera pregunta es, es $a_{n}/a_{n-1}$ convergente para todos los de Fibonacci-como secuencias?

La segunda y más interesante para mí es que, ¿hay alguna Fibonacci como la secuencia donde el límite es de $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$? Puesto que esta solución es negativo, $a_n$ debe cambiar su cantar con cada una de las $n$, pero no pude encontrar los valores de $a_0$ e $a_1$, lo que me llevaría a este caso. Si la respuesta a esta pregunta es no, ¿qué sentido matemático no esta mala solución tiene?

Answer 1

Se mostró que si el límite existe para $a_{n}/a_{n-1}$ e $a_n>0$, entonces es $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. En realidad si $(a_n)_{n\geq 0}$ es cualquier secuencia que satisface la recurrencia $a_n=a_{n-1} + a_{n-2}$ entonces no existir $A$ e $B$ tales que $$a_n=A\cdot \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+B\cdot \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$$ donde $A$ e $B$ dependen de los términos iniciales $a_0$ e $a_1$.

Entonces, ¿qué es $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}$ en el caso general?

Consideremos por ejemplo el caso cuando se $A=0$ e $B\not=0$. ¿Cuál es el límite?

Answer 2

Una manera de ver este problema es que si $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$, luego nos hemos $$\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n-1}\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n\\a_{n+1}\end{pmatrix}.$$

Los autovalores de la matriz

$$\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$$

se $$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}.$$

Estos tienen sus correspondientes vectores propios $v_1,v_2$ que abarcan $\mathbb{R}^2$. Esto nos lleva a la conclusión de que $$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=cv_1+bv_2,$$ y si $c\not=0,$ entonces $v_1$ va a dominar la secuencia, y podemos mostrar las proporciones convergen a $(1+\sqrt{5})/2.$ Esto nos lleva a la conclusión de que si queremos un Fibonacci como la secuencia de tener relaciones de convergencia a la $(1-\sqrt{5})/2$, entonces tenemos que tener en $$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=bv_2$$ para algunos no cero $b\in\mathbb{R}$. Así que para determinar todas esas secuencias que simplemente tiene que tener un autovector $v_2$ correspondiente a $(1-\sqrt{5})/2$. Uno de estos es autovector $$\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}.$$

Answer 3

Aquí es otro punto de vista de este. Tenemos $b_n=a_n/a_{n-1}$y $$b_{n+1}=1+\frac1{b_n},\tag{*}$$ o, \begin{align*} b_{n+1}&=1+\frac1{1+\cfrac1{b_{n-1}}}=1+\cfrac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\cdots}}}}. \end{align*} Debemos ser claros acerca de lo que realmente significan por una expresión como esta. De una manera que podríamos pensar es comenzar con algunas constantes como $1$, y, a continuación, repeatly la aplicación de la función de $f(x)=1+\dfrac 1x$, \begin{align*} c&=1&&=1.000\dots\\ \color{yellow}{f(}c\color{yellow}{)}&=\color{yellow}{1+\frac1{\color{black}{1}}}&&=2.000\dots\\ \color{orange}{f(}\color{yellow}{f(}c\color{yellow}{)} \color{orange}{)}&=\ \color{orange}{1+\frac{1}{\color{yellow}{1+\frac1{\color{black}{1}}}}}&&=1.500\dots\\ \color{magenta}{f(}\color{orange}{f(}\color{yellow}{f(}c\color{yellow}{)} \color{orange}{)}\color{magenta}{)}&=\color{magenta}{1+\frac 1{ \color{orange}{1+\frac{1}{\color{yellow}{1+\frac1{\color{black}{1}}}}}}}&&=1.667\dots\\ \color{violet}{f(}\color{magenta}{f(}\color{orange}{f(}\color{yellow}{f(}c\color{yellow}{)} \color{orange}{)}\color{magenta}{)}\color{violet}{)}&=\color{violet}{1+\frac 1{\color{magenta}{1+\frac 1{ \color{orange}{1+\frac{1}{\color{yellow}{1+\frac1{\color{black}{1}}}}}}}}}&&=1.600\dots \end{align*} Symbolly lo que tenemos es más y más como nuestro fracción infinita. Si empezamos con $-1/\varphi$, \begin{align*} c&=-1/\varphi&&=-0.618\dots\\ \color{yellow}{f(}c\color{yellow}{)}&=\color{yellow}{1+\frac1{\color{black}{-1/\varphi}}}&&=-0.618\dots\\ \color{orange}{f(}\color{yellow}{f(}c\color{yellow}{)} \color{orange}{)}&=\ \color{orange}{1+\frac{1}{\color{yellow}{1+\frac1{\color{black}{-1/\varphi}}}}}&&=-0.618\dots\\ \color{magenta}{f(}\color{orange}{f(}\color{yellow}{f(}c\color{yellow}{)} \color{orange}{)}\color{magenta}{)}&=\color{magenta}{1+\frac 1{ \color{orange}{1+\frac{1}{\color{yellow}{1+\frac1{\color{black}{-1/\varphi}}}}}}}&&=-0.618\dots\\ \color{violet}{f(}\color{magenta}{f(}\color{orange}{f(}\color{yellow}{f(}c\color{yellow}{)} \color{orange}{)}\color{magenta}{)}\color{violet}{)}&=\color{violet}{1+\frac 1{\color{magenta}{1+\frac 1{ \color{orange}{1+\frac{1}{\color{yellow}{1+\frac1{\color{black}{-1/\varphi}}}}}}}}}&&=-0.618\dots \end{align*} Así que no importa cuántas veces lo aplicamos, nos vamos a quedar fija en $-1/\varphi$. Pero incluso entonces, con la ayuda de una calculadora, si empezamos con un número aleatorio $\neq-1/\varphi$ (incluso es muy cerca de $-1/\varphi$) y realizar la iteración $x\to x+\dfrac 1x$ nuevo y de nuevo, que finalmente terminan en $1.618...=\varphi$. Así,

por qué el punto fijo, $\varphi$ favorecido por encima de la otra $-1/\varphi$?

La transformación de la comprensión de los derivados que va a ser útil para la comprensión de este conjunto. Ahora sabemos que $\varphi$ e $-1/\varphi$ permanece fijo en su lugar durante este proceso de iteración. Pero hacer zoom en una vecindad alrededor de $\varphi$, durante cada iteración, puntos en los que la región se contrajo alrededor de $\varphi$, lo que significa que la función de $1+\dfrac 1x$ tiene un derivado con una magnitud que está a menos de $1$ en esta entrada. De hecho, el derivado de las obras que se $$\left|\frac{df}{dx}(\varphi)\right|\approx |-0.38|<1,$$ lo que significa que cada aplicación repetida arruga el barrio que rodea a este número, más pequeño y más pequeño como una fuerza de gravedad hacia la $\varphi$.

Por el contrario, en $-1/\varphi$, la magnitud de la derivada en realidad tiene una magnitud mayor que $1$, $$\left|\frac{df}{dx}\left(-\frac 1\varphi\right)\right|\approx |-2.62|>1,$$ así que los puntos cerca del punto fijo son repelidos de distancia de ella. Podemos ver que se extienden por más de un factor de $2$ en cada iteración. (Que también se volcó alrededor porque la derivada es negativa aquí, pero el hecho sobresaliente de la estabilidad es sólo la magnitud.)

Vamos a llamar a $\varphi$ "estable de punto fijo", y $-1/\varphi$ "inestable de punto fijo". Como podemos ver la estabilidad de un punto fijo se determina si es o no de su derivada es más grande o más pequeña de lo $1$. Y esto explica por qué la $\varphi$ siempre se muestra en el límite.

Referencia: 3Blue1Brown.

Answer 4

Sí, $a_n\over a_{n-1}$ es convergente para cualquier Fibonacci-esque secuencia(enteros), y esto pasa a ser el cociente de oro, $\varphi $. El límite de $1-\sqrt{5}\over 2$ nunca va a ocurrir por una de Fibonacci-esque secuencia. La negativa de la solución de los cultivos, ya que se multiplican ambos lados por $x$ cuando se resuelve $x=1+\frac{1}{x}$ conduce a una solución. Pero este valor es útil para calcular el valor de la $n^{th}$ término de la secuencia de Fibonacci. $$ F_n=\frac{\varphi^n - (\frac{-1}{\varphi})^n}{\sqrt{5}}$$ Espero que esto ayude.