Conjuntos abiertos e intersecciones

Question

Supongamos $G$ es un subconjunto abierto del número real que no es superior acotada. Hay un número real $x > 0$ tal que el conjunto de todos los múltiplos enteros de $x$ intersecta $G$ en infinidad de puntos?

Es decir, es cierto que $\exists x \in \mathbb{R}$ tal que $\{mx\mid m\in \mathbb{Z}\}\bigcap G$ es infinito?

Mi intuición me dice que sí, puesto que el hecho de que $G$ no es superior delimitada parece ser un factor importante aquí, pero me parece que no puede demostrarlo.

Answer 1

Sí. Supongamos $\nexists x$ tal que $\{nx:n\in\mathbb{Z}\}\cap G$ es infinito, entonces para cualquier $\epsilon>0$, $\{n\epsilon:n\in\mathbb{Z}\}\cap G$ es finito.

Deje $n_0 = \max \{n \in\mathbb{Z}:n\epsilon \in G\}$.

Tome $a\in G$ tal que $a > n_0\epsilon$. $[\because G$ es ilimitado por encima de$]$.

Deje $S = \{x \in G: (a,x) \subset G\}.$ $S\ne \phi$ como $G$ está abierto.

Deje $b=\sup S$.

Por lo $(a, b) \subset G$. A continuación, $|b-a|<\epsilon$ implica también la $b=a$. Hemos llegado a una contradicción.