Adivinanzas matemáticas

Question

Un total de 2.879 de los votos han sido distribuidos entre los siete candidatos de un partido de la elección primaria. Se sabe que ninguno de los candidatos ha obtenido el mismo número de votos para el otro y que si el número de votos obtenidos por cualquiera de los candidatos se divide por el número de votos obtenidos por cualquier otro candidato que ha obtenido menos votos, el resultado es siempre un número entero. Cuántos votos tiene cada candidato obtuvo?

Yo estaba pensando en resolver por medio de congruencias y el Teorema Chino del Resto, pero no sé muy bien cómo resolver este acertijo, que ha sido propuesto a mí por un conocido.

Answer 1

Llame al número de votos que el candidato que obtenido el menor número de votos para $a_1$.

El candidato que obtuvo el segundo número más bajo de votos, a continuación, han conseguido un multiplum de $a_1$, vamos a definir $a_2$ , de modo que $a_2a_1$.

Podemos seguir y definir $a_3, \ldots, a_7$ igualmente.

Como $a_i$ para $i\geq 2$ es el factor entre el número de votos para el candidato a $i-1$ y candidato a $i$, que no pueden ser $1$.

Si sumamos el número de votos que obtenga $$ 2879 = a_1+a_2a_1+\cdots+a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1 = a_1(1+a_2(1+a_3(1+\cdots))) $$

Así que podemos concluir que $a_1 | 2879$, pero ese número es primo, por lo que los únicos factores son $1$ e $2879$. $a_1=2879$ es obviamente absurdo, por lo $a_1 = 1$.

Poner esto en la ecuación anterior obtenemos $2879=1+a_2(1+\cdots)$o $2878=a_2(1+\cdots)$. Factoring $2878$ (y descartar la absurda posibilidad) llegamos a la conclusión de $a_2=2$.

Intentar salir de allí.

Además: Si alguien intenta completar los cálculos, el $a_i$'s no el número de votos, y por lo tanto no tiene que ser diferente (sugerencia: no se).