Resolviendo

Question

En mi intento de resolver esta integral impropia, empleados de una conocida incorrecto integral (parte de la Borwein de la familia de las integrales):

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{x}{1}\right)\sin\left(\frac{x}{3}\right)\sin\left(\frac{x}{5}\right)}{\left(\frac{x}{1}\right)\left(\frac{x}{3}\right)\left(\frac{x}{5}\right)} \: dx = \frac{\pi}{2}$$

Para empezar, he hecho un simple reordenamiento

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{x}{1}\right)\sin\left(\frac{x}{3}\right)\sin\left(\frac{x}{5}\right)}{x^3} \: dx = \frac{\pi}{30}$$

A partir de aquí he utilizado el Seno/Coseno Identidades

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\frac{1}{4}\left(-\sin\left(\frac{7}{15}x\right)+ \sin\left(\frac{13}{15}x\right) + \sin\left(\frac{17}{15}x\right) -\sin\left(\frac{23}{15}x\right) \right)}{x^3} \: dx = \frac{\pi}{30}$$

Que, al expandirse, se convierte en

$$ -\int_{0}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{7}{15}x\right)}{x^3}\:dx + \int_{0}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{13}{15}x\right)}{x^3}\:dx + \int_{0}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{17}{15}x\right)}{x^3}\:dx - \int_{0}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{23}{15}x\right)}{x^3}\:dx = \frac{2\pi}{15}$$

El uso de la propiedad

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax)}{x^3}\:dx = a^2 \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x^3}\:dx$$

Podemos reducir nuestra expresión para

$$\left[ -\left(\frac{7}{15}\right)^2 + \left(\frac{13}{15}\right)^2 + \left(\frac{17}{15}\right)^2 - \left(\frac{23}{15}\right)^2\right] \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x^3}\:dx = \frac{2\pi}{15}$$

Que se simplifica a

$$ -\frac{120}{15^2}\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x^3}\:dx = \frac{2\pi}{15}$$

Y desde que llegamos a

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x^3}\:dx = -\frac{\pi}{4}$$

Es esto correcto? No estoy seguro, pero cuando me conecte en Wolframalpha se mantiene el tiempo de espera...

Answer 1

$$-\int_{0}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{7}{15}x\right)}{x^3}\:dx + \int_{0}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{13}{15}x\right)}{x^3}\:dx + \int_{0}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{17}{15}x\right)}{x^3}\:dx - \int_{0}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{23}{15}x\right)}{x^3}\:dx = \frac{2\pi}{15}$$

No se puede expandir la integrales, ya que no son convergentes.
Además, dado que la $\int_a^b f(x)+g(x)dx$converge, $\int_a^b f(x)+g(x)dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx$ sólo si $\int_a^b f(x)dx$ e $\int_a^b g(x)dx$ convergen.

Answer 2

<span class="math-container">\begin{multline} \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x^3}dx = \int_0^1 \frac{\sin(x)}{x^3}dx +\int_1^\infty \frac{\sin(x)}{x^3}dx \> \int_0^1 \frac{x/2}{x^3}dx +\int_1^\infty \frac{\sin(x)}{x^3}dx = \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{1}{x^2}dx +\int_1^\infty \frac{\sin(x)}{x^3}dx = \infty \end{multline}</span>

La integral diverge.

Answer 3

Como las otras respuestas han señalado, que la integral de hecho divergen. Pero si desea asignar un determinado valor a la misma, hay un par de maneras para ver que, de hecho, $-\pi/4$ es el valor "correcto".

Es tomar la integral no muy abajo a cero, pero en lugar de $\epsilon$. Si lo hacemos, a continuación, expanda en una serie en la $\epsilon$, obtenemos $$\int_\epsilon^\infty\frac{\sin x}{x^3}\,dx=\epsilon^{-1}-\frac{\pi}{4}+O(\epsilon).$$ El líder término es el divergentes $\epsilon^{-1}$, pero, si hacemos caso de que, a continuación, el siguiente término es $-\pi/4$.

Otra forma de obtener el mismo valor, es en primer lugar ampliar la integral de a $-\infty$. Puesto que el integrando es par, podemos esperar $$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x^3}\,dx=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x^3}\,dx.$$ Por supuesto, la mano derecha de la integral diverge. Pero el único problema de momento es que cuando $x=0$. Si nos imaginamos $x$ como en el plano complejo, viajando desde $-\infty$ a $\infty$, entonces podemos "dar la vuelta" $0$ curvando $x$ ligeramente en el plano complejo, por ejemplo:

Si lo hacemos, entonces nos encontramos con la misma respuesta de $-\pi/4$. No estoy seguro de lo que este tipo de regularización se llama, pero es frecuentemente utilizado en la teoría cuántica de campos donde divergentes integrales abundan.