Representaciones irreducibles de dimensión finita de un Álgebra de Lie semisimple separan puntos del álgebra envolvente universal.

Question

Dejemos que $\mathfrak{g}$ sea un Álgebra de Lie semisimple, y $U(\mathfrak g)$ el álgebra envolvente universal .

Sabemos que para cada representación $\rho: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)$ existe una representación $\tilde{\rho} : U(\mathfrak g) \to \mathfrak{gl}(V)$ , de tal manera que $\rho = \tilde{\rho} \circ \iota$ , donde $\iota: \mathfrak g \to U(\mathfrak g)$ es la inclusión natural. Además, utilizando las notaciones estándar, $\tilde{\rho}(X_1 \cdot \ldots\cdot X_n) = \rho(X_1) \ldots \rho(X_n).$

Estoy muy atascado en este problema

Pregunta: Demostrar que las representaciones irreducibles de dimensión finita de un Álgebra de Lie semisimple $\mathfrak g$ puntos separados del álgebra universal $U(\mathfrak g)$ , es decir si $a \in U(\mathfrak g)$ satisface $\tilde{\rho}(a) =0$ para toda representación irreducible $\rho: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)$ alors $a=0$ .

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

El siguiente es un argumento explícito basado en el conocimiento de la representación irreducible de dimensión finita de ${\mathfrak g}$ . En el centro está la no-degeneración de la forma Shapovalov y la descripción de su determinante, pero he tratado de mantener la exposición elemental.

Preparado: Dejemos que ${\mathfrak g}={\mathfrak n}^-\oplus{\mathfrak h}\oplus{\mathfrak n}^+$ sea una descomposición triangular de ${\mathfrak g}$ con respecto a una subálgebra de Cartan ${\mathfrak h}$ de ${\mathfrak g}$ y una elección de raíces positivas $\Phi^+\subset{\mathfrak h}^{\ast}$ . Además, dejemos que ${\mathfrak b}:={\mathfrak h}\oplus{\mathfrak n}^+$ sea la subálgebra de Borel asociada. Por último, recordemos la descomposición PBW ${\mathscr U}{\mathfrak g}\cong{\mathscr U}{\mathfrak n}^-\otimes{\mathscr U}{\mathfrak h}\otimes{\mathscr U}{\mathfrak n}^+$ .

Se sabe (y no es difícil de demostrar) que toda representación irreducible de dimensión finita de ${\mathfrak g}$ es únicamente de la forma $L(\lambda)=M(\lambda)/N(\lambda)$ , donde $\lambda\in{\mathfrak h}^{\ast}$ es la integral dominante, es decir $\lambda(h_\alpha)\in{\mathbb Z}_{\geq 0}$ para todos $\alpha\in\Phi^+$ y $M(\lambda) := {\mathscr U}{\mathfrak g}\otimes_{{\mathscr U}{\mathfrak b}} {\mathbb C}_\lambda$ para el $1$ -dimensional ${\mathscr U}{\mathfrak b}$ -Módulo ${\mathbb C}_\lambda$ dado por ${\mathfrak n}^+{\mathbb C}_\lambda = \{0\}$ y ${\mathfrak h}$ actuando en ${\mathbb C}_\lambda$ a través de $\lambda$ .

Es importante hacerse a la idea de cómo $M(\lambda)$ y $L(\lambda)$ se producen de forma geométrica: El diagrama del espacio de pesos de $M(\lambda)$ es un cono dirigido hacia abajo con raíz en $\lambda$ , mientras que el de $L(\lambda)$ es su mayor subconjunto simétrico con respecto a la acción del grupo de Weyl. Véase aquí donde las líneas punteadas indican el cono de peso de $M(\lambda)$ y el área sólida es donde los pesos de $L(\lambda)$ en vivo.

Consideremos la separación de puntos para los elementos de ${\mathscr U}{\mathfrak n}^-$ primero. Para aquellos, su acción en $M(\lambda)$ es muy simple: Como ${\mathscr U}{\mathfrak n}^-$ -módulo, $M(\lambda)\cong {\mathscr U}{\mathfrak n}^-$ con $1\otimes 1\mapsto 1$ porque ${\mathscr U}{\mathfrak g}\cong{\mathscr U}{\mathfrak n}^-\otimes{\mathscr U}{\mathfrak h}\otimes{\mathscr U}{\mathfrak n}^+$ por PBW. Así que no elemento no nulo de ${\mathscr U}{\mathfrak n}^-$ actúa trivialmente sobre $M(\lambda)$ porque no mata el vector de mayor peso $1\otimes 1$ . La idea es ahora hacer $\lambda\gg 0$ lo suficientemente grande, para cualquier fijo elemento de ${\mathscr U}{\mathfrak n}^-\setminus\{0\}$ para que este argumento se pueda trasladar a $L(\lambda)$ , mostrando que el elemento considerado no aniquila el vector de mayor peso. Intuitivamente, esto debería ser posible, porque cuanto más grande $\lambda$ se pone, cuanto más "lejos de $\lambda$ hace el submódulo $N(\lambda)$ inicio que se aniquila de $M(\lambda)$ al pasar a $L(\lambda)$ .

Empezando por ser precisos, tienes lo siguiente:

Propuesta: Para cualquier raíz simple $\alpha\in\Delta$ hay una incrustación única $M(s_\alpha\cdot\lambda)\subset M(\lambda)$ y $$L(\lambda)=M(\lambda)/\sum_{\alpha\in\Delta} M(s_\alpha\cdot\lambda).$$

NB: Siguiendo con esto, se obtiene el Resolución de BGG de $L(\lambda)$ en términos de $M(w\cdot \lambda)$ con $w\in W$ en el $l(w)$ -a la sicología.

Corolario: Si $\mu\preceq\lambda$ (es decir $\lambda-\mu\in{\mathbb Z}_+\Phi^+$ Así que $\mu$ está en el cono de abajo $\lambda$ ) pero $\lambda - \mu = \sum_{\alpha\in\Delta} c_\alpha \alpha$ con $c_\alpha < \lambda(h_\alpha)$ para todos $\alpha\in\Delta$ entonces la proyección $M(\lambda)_\mu\twoheadrightarrow L(\lambda)_\mu$ es un isomorfismo.

En otras palabras, sólo en la unión de los conos "desplazados" enraizados en $s_\alpha\cdot\lambda$ que $L(\lambda)$ empieza a ser diferente de $M(\lambda)$ . Esto debería ser algo intuitivo.

De ahí obtenemos la separación de puntos como sigue:

Corolario: Dejemos que $\theta = \sum_{\alpha\in\Delta} c_\alpha \alpha$ con $c_\alpha\in{\mathbb Z}^+$ y supongamos que $y\in{\mathscr U}{\mathfrak n}^-_{-\theta}$ eso es, $x$ es una suma de productos $y_{\alpha_{i_1}}\cdots y_{\alpha_{i_k}}$ tal que $\theta = \sum_i \alpha_{i_j}$ . Entonces, para cualquier $\lambda\in{\mathfrak h}^{\ast}$ con $\lambda(h_\alpha)\in{\mathbb Z}^{> c_\alpha}$ para todos $\alpha\in\Delta$ , $y.v_\lambda\neq 0$ para el vector de mayor peso $v_\lambda$ de $L(\lambda)$ . En particular, $xy$ no actúa trivialmente sobre $L(\lambda)$ .

Prueba: Si $\tilde{v}_\lambda$ denota el vector de mayor peso de $M(\lambda)$ entonces por la proposición anterior tenemos $y.\tilde{v}_\lambda\in M(\lambda)\setminus N(\lambda)$ . En particular, $x$ actúa de forma no trivial sobre la imagen $v_\lambda$ de $\tilde{v}_\lambda$ en $L(\lambda)$ .

Corolario: Dejemos que $\theta$ , $y\in{\mathscr U}{\mathfrak n}^-_{-\theta}$ y $\lambda$ sea como antes. Entonces existe algún $x\in{\mathscr U}{\mathfrak n}^+_{\theta}$ tal que $(xy)_0(\lambda)\neq 0$ , donde $(xy)_0\in {\mathscr U}{\mathfrak h}\cong {\mathscr P}({\mathfrak h}^{\ast})$ es la proyección de $xy\in{\mathscr U}{\mathfrak g}_{0}$ en ${\mathscr U}{\mathfrak h}\subset {\mathscr U}{\mathfrak g}_{0}$ con respecto a la descomposición del PBW.

En este caso, utilizamos ese ${\mathscr U}{\mathfrak h}\cong {\mathfrak S}({\mathfrak h})\cong {\mathscr P}({\mathfrak h}^{\ast})$ puede verse como el álgebra de las funciones polinómicas sobre ${\mathfrak h}^{\ast}$ .

Prueba: Desde $y.v_\lambda\neq 0$ en $L(\lambda)$ y $L(\lambda)$ es simple, tenemos $L(\lambda)={\mathscr U}{\mathfrak g}.y.v_\lambda={\mathscr U}{\mathfrak n}^-{\mathscr U}{\mathfrak b}.y.v_\lambda$ . En particular, existe $x\in {\mathscr U}{\mathfrak n}^+$ tal que $(xy).v_\lambda\neq 0$ en $L(\lambda)_\lambda$ . Para tales $x$ Debemos tener $(xy)_0\neq 0$ desde el $({\mathscr U}{\mathfrak g}){\mathfrak n}^+$ -componente de $xy$ actúa trivialmente sobre el vector de mayor peso $v_\lambda$ . Por último, hay que tener en cuenta que $z\in{\mathscr U}{\mathfrak h}$ actúa sobre $v_\lambda$ por $z(\lambda)$ .

En el corolario anterior, las funciones de $x$ y $y$ puede invertirse:

Corolario: Para $\theta$ , $\lambda$ como antes y $x\in {\mathscr U}{\mathfrak n}^+_{\theta}$ existe un $y\in {\mathscr U}{\mathfrak n}^-_{-\theta}$ tal que $(xy)_0(\lambda)\neq 0$ .

Prueba: Aplicar el corolario a $\tau(y)\in {\mathscr U}{\mathfrak n}^-_{-\theta}$ , donde $\tau:{\mathscr U}{\mathfrak g}^{\text{opp}}\to{\mathscr U}{\mathfrak g}$ es la autoinvolución de ${\mathscr U}{\mathfrak g}$ intercambiando ${\mathfrak n}^+$ y ${\mathfrak n}^-$ .

Teorema (separación de puntos): Para cualquier $z\in {\mathscr U}{\mathfrak g}\setminus\{0\}$ existe una dimensión finita $L(\lambda)$ tal que $z.L(\lambda)\neq 0$ .

Prueba: Supongamos que $z=\sum_\theta y_\theta h_\theta x_\theta$ donde $x_\theta\in{\mathscr U}{\mathfrak n}^+_\theta$ y $y_\theta\in{\mathscr U}{\mathfrak n}^-$ , $h_\theta\in{\mathscr U}{\mathfrak h}$ En otras palabras, se agrupan los términos PBW por el peso en el ${\mathfrak n}$ - lado. Ahora, considere $\theta$ máxima con respecto a la ordenación $\lambda\preceq\mu:\Leftrightarrow \mu-\lambda\in{\mathbb Z}^+\Phi^+$ tal que $y_\theta h_\theta x_\theta$ no es cero. Entonces, sabemos por nuestro trabajo anterior que hay algún $\lambda\gg 0$ tal que para cualquier $\lambda^{\prime}$ tal $\lambda\preceq\lambda^{\prime}$ existe algún $y^{\prime}_\theta\in{\mathscr U}{\mathfrak n}^-_{-\theta}$ (dependiendo de $\lambda^{\prime}$ ) tal que $(x_\theta y^{\prime}_\theta)_0(\lambda^{\prime})\neq 0$ . Recogiendo $\lambda^{\prime}$ suficientemente grande, podemos suponer que también $h_\theta(\lambda^{\prime})\neq 0$ Esto se debe a que el polinomio $h_\theta\in {\mathscr P}{\mathfrak h}\cong{\mathscr P}({\mathfrak h}^{\ast})$ no puede desaparecer en la media red desplazada $\lambda + {\mathbb Z}^+\Phi^+$ . Poniendo todo junto, en $L(\lambda^{\prime})$ entonces tenemos $(y_\theta h_\theta x_\theta).(y^{\prime}_\theta v_{\lambda^{\prime}}) = h_\theta(\lambda^{\prime}) (x_\theta y^{\prime}_\theta)_0(\lambda^{\prime}) y_\theta v_{\lambda^{\prime}}\neq 0$ donde para el último paso tenemos que ampliar potencialmente $\lambda^{\prime}$ de nuevo. ¿Qué pasa con los otros sumandos en $z$ ? Todos ellos aniquilan $y^{\prime}_\theta v_{\lambda^{\prime}}$ debido a la maximización de $\theta$ .

Answer 2

Teorema (Harish-Chandra 1949) para un álgebra de Lie arbitraria de dimensión finita sobre un campo característico, las representaciones de dimensión finita separan puntos del álgebra envolvente universal.

Este es un resultado profundo, demostrado en el capítulo 2 del libro de Dixmier "algebras envolventes". Tiene como corolario el teorema de Ado.

En el caso semisimple en característica cero, las representaciones finito-dimensionales se dividen como suma directa de representaciones irreducibles (Weyl), y por lo tanto se sigue el resultado deseado: las representaciones irreducibles finito-dimensionales separan puntos.

No sé si el teorema de Harish-Chandra es mucho más fácil en el caso semisimple (para el que el teorema de Ado es trivial).

No estoy seguro de la imagen en la característica finita, pero esto es probablemente abordado por el trabajo de Jacobson o así.