¿El residuo complejo está relacionado con la palabra residuo?

Question

Conozco poca terminología matemática formal y no entiendo mucho sobre el análisis complejo. Además, si este no es un buen punto de partida para una integración compleja, no dude en decirlo (estoy aprendiendo sobre esto en parte por el teorema de residuos de Cauchy).

Mi primera e intuitiva idea de residuo tiene que ver con el resto, la resta, la división, etc., pero más generalmente algo que queda, es extra o no es usado por una operación o algo. ¿Se unen estas ideas?

Answer 1

El residuo (latin residuere - continue) se llama así porque $\frac{1}{2\pi i}\int_{|w-z_0|=r}f(w)dw=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\int_{|w-z_0|=r}(w-z_0)^n\,dw= a_{-1}$ es lo que queda después de la integración.

Answer 2

Si $a\in\mathbb C$ , $r\in(0,\infty)$ , $f\colon B_r(a)\setminus\{a\}\longrightarrow\mathbb C$ es una función analítica, y $\gamma\colon[a,b]\longrightarrow B_r(a)\setminus\{a\}$ es un bucle simple alrededor de $a$ , entonces $$\frac1{2\pi i}\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=\operatorname{res}_{z=a}\bigl(f(z)\bigr).$ $ Entonces, el residuo es lo que queda después de la integración a lo largo de tal bucle.

Answer 3

Sí, lo es. El residuo de la serie de Laurent de una función en un anillo es el coeficiente de $c_{-1}$ de esta serie, que es lo que queda después de la integración de la función en un bucle en el anillo (que es, después de la integración de Laurent serie que representa la función de este anillo).

Tenga en cuenta que

$$\oint z^{-k}\, dz=\begin{cases}0,& k\in\Bbb Z\setminus\{1\}\\2\pi i,& k=1\end{cases}$$

Por lo tanto (suponiendo una de la serie de Laurent alrededor de un polo en el origen de la simplicidad) tenemos que

$$\oint f(z)\, dz=\oint\sum_{k\in\Bbb Z}c_k z^k\, dz=\sum_{k\in\Bbb Z}c_k \oint z^k\, dz=c_{-1}2\pi i$$