$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0 \nRightarrow f(x,y) = g(x) + h(y)$

Question

Estoy trabajando a través de Ted Shifrin del libro Multivariable de las Matemáticas. Hay un ejercicio problema que se pretende demostrar que uno puede tener $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$ pero$ f(x,y) \neq g(x) + h(y)$.

La pregunta (3.6.11) es como sigue: $$ \mathrm{Given} \; f(x, y) = \begin{cases} 0, \; x < 0\; \mathrm{or} \; y < 0 \\x^3, \; x \geq 0 \; \mathrm{and} \; y > 0 \end{cases} $$

1. Mostrar que $f$ es $C^2$

2. Mostrar que $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$

3. Mostrar que $f(x,y)$ no puede ser escrito como $g(x) + h(y)$ para funciones apropiadas $g, h$.

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Veo que el dominio es todo el plano excepto en el eje x, que es $\mathbb{R}^2 -\{y=0\}$. La función es 0 en todos los cuadrantes, excepto la primera, donde es $x^3$.

Yo podría mostrar 1. y 2. por encima, pero estoy perplejo por dos cosas.

Q1 ¿Qué hay de malo con la escritura de $f(x,y) = g(x) + h(y)$ a trozos en cada cuadrante ?

Q2. Nada cambia si el dominio permite que la línea $y=0$ también ?

Q3. ¿Cuál es la comida para llevar de este problema ? No entiendo por que.

Answer 1

Para Q1; la definición de los cuadrantes requiere tanto de la $x$ e $y$. Por ejemplo, la definición de $$g(x):=\left\{\begin{array}{ll} 0 &\text{ if } x<0\ \text{ or } \; y < 0, \\ x^3 &\text{ if } x\geq0 \; \text{ and } \; y > 0. \end{array}\right.,$$ no tiene sentido como ahora $g(x)$ depende de $y$. Más formalmente; si $f(x,y)=g(x)+h(y)$ , a continuación, para todos los $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\Bbb{R}^2$ hemos $$f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)-f(x_1,y_2)-f(x_2,y_2)=0.$$ Pero evidentemente este no es el caso, por ejemplo, tomar $x_1=y_1=1$ e $x_2=y_2=-1$.

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Para Q2; la función dada $f(x,y)$ no se extiende a una función diferenciable en a$\Bbb{R}^2$. No hay funciones con esta propiedad que son diferenciables en todos los de $\Bbb{R}^2$. Ver también este excelente respuesta.

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Para Q3; la conclusión es que la implicación $$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=0 \qquad\Rightarrow\qquad f(x,y)=g(x)+h(y),$$ depende fundamentalmente del dominio; tiene si el dominio es $\Bbb{R}^2$, pero no se si el dominio es, por ejemplo, una desconectado subconjunto de $\Bbb{R}^2$.