10 votos

¿Una prueba matemática en $\mathbb{C}$ implican una prueba en el $\mathbb{R}$ ?

¿Cada prueba en los números complejos demuestra también la afirmación en los números reales? Pensé que podría ser cierto, porque los números reales son parte de los números complejos.

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En los números complejos podemos demostrar que existe un número $x$ para lo cual $x^2=-1$ . Pero no podemos probar esto en los números reales porque no es cierto.

3 votos

Si se demuestra que algo es cierto para todos los números complejos en general es cierto para todos los números reales. Pero si demuestras algo sobre algunos números complejos no lo has demostrado sobre algunos números reales a menos que lo hayas demostrado para números complejos con partes imaginarias iguales a cero.

5 votos

" Pensé que podría ser cierto, porque los números reales son parte del número complejo". Los perros son parte de los animales por lo que si se ha demostrado algo sobre los animales se ha demostrado para los perros. Afirmación: algunos animales comen heno. (Prueba:caballos) ¿Significa eso que algunos perros comen heno? Afirmación: Todos los animales respiran. (Prueba: no sé, algo sobre las células). ¿Significa eso que todos los perros respiran? Tienes razón: los números reales son un subconjunto del complejo. Así que cualquier afirmación sobre el complejo será pertinente. Pero no todos los enunciados son exhaustivos sobre todo posibilidades. Así que usa el sentido común.

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SpectreWriter Puntos 609

Si demostramos que algo es cierto para cada número complejo $z\in \mathbb{C}$ entonces hemos demostrado que es cierto para cada $x\in \mathbb{R}$ desde $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ .

Sin embargo, no "toda prueba en los números complejos" es de esta forma. Por ejemplo, consideremos el siguiente ejemplo. Podemos demostrar que existe un $z\in \mathbb{C}$ tal que $z^2=-1$ pero no hay ningún número real que tenga esta propiedad.

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fleablood Puntos 5913

Tu razonamiento de que si algo es cierto sobre los números complejos debe ser cierto sobre los reales porque los reales son complejo es sólido. Pero no creo que estés pensando en lo que ordenar de las afirmaciones pueden ser probadas.

Esta no es una respuesta completa, pero hay que pensar en "algunos" y "todos".

Si X es verdadera para todos los complejos, es verdadera para todos los reales.

Si Y es verdadera para algún complejo, puede o no serlo para algunos, todos o ningún real.

Si W es verdadera para ningún complejo, no es verdadera para ningún real.

Si A es verdadera para todos los reales, entonces es verdadera para algún complejo. Puede o no ser cierto para todos los complejos.

Si B es verdadera para algunos reales, entonces es verdadera para algún complejo.

Y si C no es verdadera para ningún real, podría serlo o no para algún complejo (pero definitivamente no lo es para todos).

5 votos

Creo que una pequeña cosa que se ha pasado por alto es la complejidad de la propiedad. Como "x tiene una raíz cuadrada" es verdadera para todos los números complejos y no verdadera para todos los reales, en el sentido de 'sobre los números complejos/reales'.

1 votos

Ese es un buen punto. Todos los números complejos tienen raíces cuadradas (complejas) y, por tanto, es cierto que todos los números reales tienen raíces cuadradas (complejas). Pero no es cierto que todos los números reales tengan raíces cuadradas (reales). La cuestión es qué es exactamente es el enunciado del teorema. Lo que no ocurre es algún cambio mágico como el teorema: en los postres, las nueces saben bien. Pero: en la comida, los frutos secos saben mal. Eso es simplemente contradictorio.

6voto

Hay un problema en el Análisis Funcional de Kreyszig:

Dejemos que $X$ sea un espacio de producto interno sobre $\mathbb{C}$ y $T:X\to X$ es un mapa lineal. Si $\langle x,Tx\rangle =0\:\forall x\in X$ entonces $T$ es la transformación nula.

Esto no es cierto para los espacios de productos internos sobre $\mathbb R$ .

4voto

Jason Davies Puntos 3173

Esto depende de lo que se entienda por una prueba en los reales. No toda afirmación sobre los números complejos es una afirmación sobre los reales. Sin embargo, se puede pensar en cada número complejo como un par de números reales (a,b), con una relación correspondiente, donde se define la suma y la multiplicación complejas como operaciones sobre pares ordenados de números reales. Así que cualquier afirmación que hagas sobre los números complejos se corresponde con una afirmación sobre los números reales con el doble de variables.

3voto

user496634 Puntos 59

En otras respuestas ya se ha dicho que la validez de esta afirmación depende de lo que se entienda por "prueba". Aquí hay otro ejemplo de cuando algo es verdadero en $\mathbb C$ pero no en $\mathbb R$ El teorema fundamental del álgebra. Afirma que un polinomio de grado $n$ siempre tiene exactamente $n$ raíces en $\mathbb C$ Sin embargo, es evidente que no es cierto en $\mathbb R$ excepto los casos degenerados. De hecho, si el TLC fuera cierto en $\mathbb R$ sería estrictamente un más fuerte declaración y supondría el TLC en $\mathbb C$ y no al revés.

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