¿Cada prueba en los números complejos demuestra también la afirmación en los números reales? Pensé que podría ser cierto, porque los números reales son parte de los números complejos.
Si demostramos que algo es cierto para cada número complejo $z\in \mathbb{C}$ entonces hemos demostrado que es cierto para cada $x\in \mathbb{R}$ desde $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ .
Sin embargo, no "toda prueba en los números complejos" es de esta forma. Por ejemplo, consideremos el siguiente ejemplo. Podemos demostrar que existe un $z\in \mathbb{C}$ tal que $z^2=-1$ pero no hay ningún número real que tenga esta propiedad.
Tu razonamiento de que si algo es cierto sobre los números complejos debe ser cierto sobre los reales porque los reales son complejo es sólido. Pero no creo que estés pensando en lo que ordenar de las afirmaciones pueden ser probadas.
Esta no es una respuesta completa, pero hay que pensar en "algunos" y "todos".
Si X es verdadera para todos los complejos, es verdadera para todos los reales.
Si Y es verdadera para algún complejo, puede o no serlo para algunos, todos o ningún real.
Si W es verdadera para ningún complejo, no es verdadera para ningún real.
Si A es verdadera para todos los reales, entonces es verdadera para algún complejo. Puede o no ser cierto para todos los complejos.
Si B es verdadera para algunos reales, entonces es verdadera para algún complejo.
Y si C no es verdadera para ningún real, podría serlo o no para algún complejo (pero definitivamente no lo es para todos).
Creo que una pequeña cosa que se ha pasado por alto es la complejidad de la propiedad. Como "x tiene una raíz cuadrada" es verdadera para todos los números complejos y no verdadera para todos los reales, en el sentido de 'sobre los números complejos/reales'.
Ese es un buen punto. Todos los números complejos tienen raíces cuadradas (complejas) y, por tanto, es cierto que todos los números reales tienen raíces cuadradas (complejas). Pero no es cierto que todos los números reales tengan raíces cuadradas (reales). La cuestión es qué es exactamente es el enunciado del teorema. Lo que no ocurre es algún cambio mágico como el teorema: en los postres, las nueces saben bien. Pero: en la comida, los frutos secos saben mal. Eso es simplemente contradictorio.
Hay un problema en el Análisis Funcional de Kreyszig:
Dejemos que $X$ sea un espacio de producto interno sobre $\mathbb{C}$ y $T:X\to X$ es un mapa lineal. Si $\langle x,Tx\rangle =0\:\forall x\in X$ entonces $T$ es la transformación nula.
Esto no es cierto para los espacios de productos internos sobre $\mathbb R$ .
Esto depende de lo que se entienda por una prueba en los reales. No toda afirmación sobre los números complejos es una afirmación sobre los reales. Sin embargo, se puede pensar en cada número complejo como un par de números reales (a,b), con una relación correspondiente, donde se define la suma y la multiplicación complejas como operaciones sobre pares ordenados de números reales. Así que cualquier afirmación que hagas sobre los números complejos se corresponde con una afirmación sobre los números reales con el doble de variables.
En otras respuestas ya se ha dicho que la validez de esta afirmación depende de lo que se entienda por "prueba". Aquí hay otro ejemplo de cuando algo es verdadero en $\mathbb C$ pero no en $\mathbb R$ El teorema fundamental del álgebra. Afirma que un polinomio de grado $n$ siempre tiene exactamente $n$ raíces en $\mathbb C$ Sin embargo, es evidente que no es cierto en $\mathbb R$ excepto los casos degenerados. De hecho, si el TLC fuera cierto en $\mathbb R$ sería estrictamente un más fuerte declaración y supondría el TLC en $\mathbb C$ y no al revés.
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En los números complejos podemos demostrar que existe un número $x$ para lo cual $x^2=-1$ . Pero no podemos probar esto en los números reales porque no es cierto.
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Si se demuestra que algo es cierto para todos los números complejos en general es cierto para todos los números reales. Pero si demuestras algo sobre algunos números complejos no lo has demostrado sobre algunos números reales a menos que lo hayas demostrado para números complejos con partes imaginarias iguales a cero.
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" Pensé que podría ser cierto, porque los números reales son parte del número complejo". Los perros son parte de los animales por lo que si se ha demostrado algo sobre los animales se ha demostrado para los perros. Afirmación: algunos animales comen heno. (Prueba:caballos) ¿Significa eso que algunos perros comen heno? Afirmación: Todos los animales respiran. (Prueba: no sé, algo sobre las células). ¿Significa eso que todos los perros respiran? Tienes razón: los números reales son un subconjunto del complejo. Así que cualquier afirmación sobre el complejo será pertinente. Pero no todos los enunciados son exhaustivos sobre todo posibilidades. Así que usa el sentido común.
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Como sin duda has captado, el hecho de que los números reales sean una subestructura de los números complejos significa que todos universal Las afirmaciones sobre los números complejos son verdaderas para los números reales, es decir, todas las afirmaciones de la forma "para todos los números complejos, se cumple alguna propiedad (sin cuantificadores)". Del mismo modo, todas las existencial Las afirmaciones que son válidas para los reales también lo son para los números complejos. Así que "existe un número real $x$ tal que $x^2=2$ " implica que "existe un número complejo $x$ tal que $x^2=2.$ "
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Si la afirmación es del tipo que si es verdadera para el TODO es verdadera para la PARTE entonces, sí, si es verdadera para los complejos es verdadera para los reales. Pero decir que "todas" las pruebas son así es una exageración. Hacer una afirmación precisa de lo que se implica y lo que no se implica podría ser más parsimonioso de lo que parece. Pero cualquier afirmación que pueda decirse sobre los TODOS y las PARTES puede aplicarse a los reales y a los complejos de la misma manera.