Tu razonamiento de que si algo es cierto sobre los números complejos debe ser cierto sobre los reales porque los reales son complejo es sólido. Pero no creo que estés pensando en lo que ordenar de las afirmaciones pueden ser probadas.
Esta no es una respuesta completa, pero hay que pensar en "algunos" y "todos".
Si X es verdadera para todos los complejos, es verdadera para todos los reales.
Si Y es verdadera para algún complejo, puede o no serlo para algunos, todos o ningún real.
Si W es verdadera para ningún complejo, no es verdadera para ningún real.
Si A es verdadera para todos los reales, entonces es verdadera para algún complejo. Puede o no ser cierto para todos los complejos.
Si B es verdadera para algunos reales, entonces es verdadera para algún complejo.
Y si C no es verdadera para ningún real, podría serlo o no para algún complejo (pero definitivamente no lo es para todos).
17 votos
En los números complejos podemos demostrar que existe un número $x$ para lo cual $x^2=-1$ . Pero no podemos probar esto en los números reales porque no es cierto.
3 votos
Si se demuestra que algo es cierto para todos los números complejos en general es cierto para todos los números reales. Pero si demuestras algo sobre algunos números complejos no lo has demostrado sobre algunos números reales a menos que lo hayas demostrado para números complejos con partes imaginarias iguales a cero.
5 votos
" Pensé que podría ser cierto, porque los números reales son parte del número complejo". Los perros son parte de los animales por lo que si se ha demostrado algo sobre los animales se ha demostrado para los perros. Afirmación: algunos animales comen heno. (Prueba:caballos) ¿Significa eso que algunos perros comen heno? Afirmación: Todos los animales respiran. (Prueba: no sé, algo sobre las células). ¿Significa eso que todos los perros respiran? Tienes razón: los números reales son un subconjunto del complejo. Así que cualquier afirmación sobre el complejo será pertinente. Pero no todos los enunciados son exhaustivos sobre todo posibilidades. Así que usa el sentido común.
2 votos
Como sin duda has captado, el hecho de que los números reales sean una subestructura de los números complejos significa que todos universal Las afirmaciones sobre los números complejos son verdaderas para los números reales, es decir, todas las afirmaciones de la forma "para todos los números complejos, se cumple alguna propiedad (sin cuantificadores)". Del mismo modo, todas las existencial Las afirmaciones que son válidas para los reales también lo son para los números complejos. Así que "existe un número real $x$ tal que $x^2=2$ " implica que "existe un número complejo $x$ tal que $x^2=2.$ "
1 votos
Si la afirmación es del tipo que si es verdadera para el TODO es verdadera para la PARTE entonces, sí, si es verdadera para los complejos es verdadera para los reales. Pero decir que "todas" las pruebas son así es una exageración. Hacer una afirmación precisa de lo que se implica y lo que no se implica podría ser más parsimonioso de lo que parece. Pero cualquier afirmación que pueda decirse sobre los TODOS y las PARTES puede aplicarse a los reales y a los complejos de la misma manera.