Mostrar $\int_0^{\int_0^u{\rm sech}vdv}\sec vdv\equiv u$ y $\int_0^{\int_0^u\sec vdv}{\rm sech} vdv\equiv u$

Question

Los dos siguientes teoremas de aspecto muy extraño

$$\int_0^{\int_0^u\operatorname{sech}\upsilon d\upsilon}\sec\upsilon d\upsilon \equiv u$$

$$\int_0^{\int_0^u\sec\upsilon d\upsilon}\operatorname{sech}\upsilon d\upsilon \equiv u$$

son simples consecuencias del hecho bastante notable (en mi opinión) de que

$$\int_0^u\operatorname{sech}\upsilon d\upsilon$$

$$\int_0^u\operatorname{sec}\upsilon d\upsilon$$

son funciones inversas entre sí (concretamente

$$2\operatorname{atn}\exp u-\frac{\pi}{2}$$ & $$\ln\tan(\frac{u}{2}+\frac{\pi}{4})$$

respectivamente, o $\operatorname{gd}^{-1}u$ y $\operatorname{gd}u$ si la convención de utilizar " $\operatorname{gd}$ "para representar gudermannia recibirse).

Las relaciones entre integrales de funciones circulares e hiperbólicas, y el "sistema" extraordinariamente cerrado que parecen formar todas ellas, son para mí una fuente constante de fascinación, y la particular relación citada aquí es probablemente la más extraña de todas, en mi opinión.

Probablemente sea demasiado esperar que un grupo-subcomposición de funciones podría formarse a partir de ellos, o cualquier cosa muy tan limpio... pero en fin:

El "teorema raro" (en realidad sólo un teorema, por supuesto) que es el tema nominal de este post: ¿se puede demostrar directamente ¿a partir de las propiedades de las funciones hiperbólicas y circulares y de sus relaciones entre sí, en lugar de por el burdo expediente de evaluar simplemente las integrales y exponerlas como inversas mutuas?

Actualización

He estado elaborando algunas ideas, y no puedo evitar pensar ahora que podría tener algo que ver con el hecho de que

$$\int\frac{dy}{y\sqrt{1-y^2}}=\operatorname{asech}{y}$$

&

$$\int\frac{dy}{y\sqrt{y^2-1}}=\operatorname{asec}{y} .$$

(Suelo utilizar "y" en este tipo de integrales, ya que cuando me las enseñaron la primera vez fue diferenciando $y$ = función circular o hiperbólica de $x$ y expresando el resultado en términos de $y$ y nunca he perdido la costumbre).

@ Michael Hoppe

Veamos... son efectivamente composiciones así que

$$\operatorname{sech}u.\operatorname{sec}\int_0^u\operatorname{sech}\upsilon d\upsilon\equiv 1$$

$$\operatorname{sec}u.\operatorname{sech}\int_0^u\operatorname{sec}\upsilon d\upsilon\equiv 1 ... $$

Creo que eso es lo que serían de forma diferenciada. ¿Hay alguna pista en eso?

$$\operatorname{sec}\int_0^u\operatorname{sech}\upsilon d\upsilon\equiv \operatorname{cosh}u \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(\operatorname{i})$$

$$\operatorname{sech}\int_0^u\operatorname{sec}\upsilon d\upsilon\equiv \operatorname{cos}u\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(\operatorname{ii})$$

ciertamente parecen menos formidables en esa forma.

Manipulación

$$\operatorname{sech}{u} + i \operatorname{tanh}{u} = \exp{\left [i \arctan{\left ( \sinh{u} \right )} \right ]}$$

un poco, obtenemos

$$\operatorname{sech}u =\operatorname{cos}\operatorname{atn}\operatorname{sinh}u\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(\operatorname{iii})$$

$$\operatorname{sec}u =\operatorname{cosh}\operatorname{asinh}\operatorname{tan}u\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(\operatorname{iv})$$

Sustitución de $\operatorname{sec}()$ en (i) con su identidad en (iv), & $\operatorname{sech}()$ en (ii) con su identidad en (iii), obtenemos

$$\int_0^u\operatorname{sech}\upsilon d\upsilon\equiv \operatorname{atn}\operatorname{sinh}u$$

$$\int_0^u\operatorname{sec}\upsilon d\upsilon\equiv \operatorname{asinh}\operatorname{tan}u$$

Parece un poco como dar vueltas en círculos. No, no es exactamente eso - es más como seguir los hilos por todo el lugar y observar lo maravillosamente que se unen de extremo a extremo, no importa lo loco que una excursión que hacer. así que demuestra que las funciones en cuestión son, en efecto inversas - pero - todavía lo hemos hecho resolviendo las integrales ... realmente . ¿Es una mejora? No estoy seguro. Pero desde luego he intentado incorporar los diversos consejos que los contibutores me han dispensado amablemente. Y hemos conseguido otro teorema bastante curioso.

$$\operatorname{sech}{u} + i \operatorname{tanh}{u} = \exp{\left [i\int_0^u\operatorname{sech}{\upsilon.d\upsilon} \right ]}$$

$$\operatorname{sech}{u}= \cos{\left [\int_0^u\operatorname{sech}{\upsilon.d\upsilon} \right ]}$$

$$\operatorname{sec}{u}= \cosh{\left [\int_0^u\operatorname{sec}{\upsilon.d\upsilon} \right ]}$$

Y también es muy Es posible que no haya entendido bien o que haya perdido el hilo en algún momento.

Tampoco he olvidado mi línea de pensamiento: la forma en que si integras

$$\frac{dy}{y\sqrt{1-y^2}}$$

y el intervalo de integración se extiende a lo largo del punto $y=1$ está bellamente incorporado por $1/i = -i$ salir al exterior; y el $\operatorname{asec}$ se "empalma" con la función $\operatorname{asech}$ - ya que ambos tienen una singularidad en ese punto - y gira a través de un ángulo recto.

Answer 1

Siempre me ha gustado la función gudermanniana. La forma menos desconcertante de empezar cualquier debate sobre ella es señalar que las funciones $f(t):=\frac{2t}{1-t^2},\,g(t):=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ satisfacer no sólo $f(\tan\tfrac{x}{2})=\sin x,\,g(\tan\tfrac{x}{2})=\cos x$ pero también $f(\tanh\tfrac{x}{2})=\tanh x,\,g(\tanh\tfrac{x}{2})=\operatorname{sech}x$ . De ello se deduce que la definición $\operatorname{gd}x:=2\arctan\tanh\frac{x}{2}$ satisface resultados como $\tan\tfrac{\operatorname{gd}x}{2}=\tanh\frac{x}{2},\,\sin \operatorname{gd}x=\tanh x$ etc.

Ahora las integrales. Nótese que $\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}\operatorname{gd}x=\frac{\operatorname{sech}^2\frac{x}{2}}{1+\tanh^2\frac{x}{2}}=\operatorname{sech}x$ . Pero para pasar de la gudermanniana a su inversa, basta con intercambiar los dos tipos de "tangente". Pues mira lo que pasa con la derivada: $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}\operatorname{gd}^{-1}x=\frac{\sec^2\frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}}=\sec x.$$ Usted sabe que la diferencia de signo cuando se compara $1=\cos^2\tfrac{x}{2}+\sin^2\tfrac{x}{2}$ a $1=\cosh^2\tfrac{x}{2}-\sinh^2\tfrac{x}{2}$ o $\cos x=\cos^2\tfrac{x}{2}-\sin^2\tfrac{x}{2}$ a $\cosh x=\cosh^2\tfrac{x}{2}+\sinh^2\tfrac{x}{2}$ ? Equilibra perfectamente la diferencia de signos al comparar $y=\tan x\implies y'=1+y^2$ a $y=\tanh x\implies y'=1-y^2$ es decir, comparar $\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}\tan x=\tfrac{1}{1+x^2}$ a $\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}\tanh x=\tfrac{1}{1-x^2}$ . De hecho causa que resultan sobre derivados.

Answer 2

He conseguido llegar a cierto grado de generalización de esto - de hecho a través de esa observación que $\operatorname{asech}$ & $\operatorname{asec}$ son ambas integrales de funciones "complementarias" - complementarias en el sentido de tener ocurrencias de $1-x$ sustituido por $x-1$ como el punto $x=1$ se atraviesa. Una observación que ha surgido a través de este pequeño ejercicio es que digamos que tenemos una función $\operatorname{f}$ y lo integramos para obtener la primitiva de $\operatorname{f}$ , digamos $\operatorname{g}$ y luego tomamos la inversa de eso, digamos $\operatorname{ag}$ e integrar que en realidad equivale a integrar $\operatorname{f}$ multiplicado por la ordenada. Esto es fácil de ver en un gráfico: la integral que acabamos de describir es el área encerrada bajo la curva cortada por la línea horizontal que une (0 ) y (0 ), $\operatorname{f}(x)$ ) a ( $x$ , $\operatorname{f}(x)$ ), que es

$$\int x.d(g(x)) = \int xf(x).dx .$$

. En este caso concreto y teniendo en cuenta $0\leq x\leq 1$ tenemos

$$\int_1^x\frac{d\upsilon}{\upsilon\sqrt{1-\upsilon^2}}=\operatorname{asech}(x), $$

y

$$\int_1^x\frac{d\upsilon}{\sqrt{1-\upsilon^2}}=\operatorname{acos}(x), $$

y (utilizando $y$ para enfatizar que estamos cambiando a ver la integración a lo largo del $y$ eje)

$$\int_0^y\operatorname{sech}\upsilon.d\upsilon=\operatorname{acos}x=\operatorname{acos}(\operatorname{sech}y) ,$$

que es, de hecho, una de las formulæ a las que se llega en el cuerpo principal de la cuestión.

Del mismo modo para $x\geq 1$ tenemos

$$\int_1^x\frac{d\upsilon}{\upsilon\sqrt{\upsilon^2-1}}=\operatorname{asec}(x), $$

y

$$\int_1^x\frac{d\upsilon}{\sqrt{\upsilon^2-1}}=\operatorname{acosh}(x), $$

y (utilizando $y$ para enfatizar... otra vez)

$$\int_0^y\operatorname{sec}\upsilon.d\upsilon=\operatorname{acosh}x=\operatorname{acosh}(\operatorname{sec}y) ,$$

¿Cuál es el correspondiente fórmula a la que se llegó en el cuerpo principal.

Se puede ver con un poco de consideración que el siendo inversas entre sí de las dos integrales en $y$ depende de que las funciones

$$\operatorname{acosh} \& \operatorname{asech}$$

son funciones $\operatorname{\phi} \& \operatorname{\psi}$ tal que

$$\operatorname{\phi}(x)\equiv\operatorname{\psi}(1/x) ;$$

y lo mismo para

$$\operatorname{acos} \& \operatorname{asec} .$$

Traduciendo esto en términos de origen de estas funciones como integrales de

$$\operatorname{f_l}(x)\equiv\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} \&$$

$$\operatorname{f_r}(x)\equiv\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}, $$

(l= izquierda & b= derecha ), lo que es lo que bisagras on es que

$$\operatorname{f_a}(x).dx\equiv (1/x)\operatorname{f_b}(1/x) \&$$

$$\operatorname{f_a}(1/x).d(1/x)\equiv x\operatorname{f_b}(x), $$

donde a=l o r y b=r o l. Esto es muy complicado de poner en símbolos: pero básicamente de lo que depende es de que si $1/x$ se sustituirá por $x$ en $\operatorname{f_l}.dx$ entonces $x.\operatorname{f_r}.dx$ debe obtenerse; si $1/x$ se sustituirá por $x$ en $x.\operatorname{f_l}.dx$ entonces $\operatorname{f_r}.dx$ debe obtenerse; si $1/x$ se sustituirá por $x$ en $\operatorname{f_r}.dx$ entonces $x.\operatorname{f_l}.dx$ debe obtenerse; si $1/x$ se sustituirá por $x$ en $x.\operatorname{f_r}.dx$ entonces $\operatorname{f_l}.dx$ debe obtenerse: básicamente sólo a fondo reciprocidad bajo esas transformaciones.

También puede verse que esto ocurre si la función $\operatorname{f}$ es de la forma recíproco de ( $x$ ×función que cambia $1-x$ en $x-1$ o $x-1$ en $1-x$ cuando $1/x$ se sustituye por $x$ y se multiplica por $x$ de $d(1/x)=-dx/x^2$ ). Como ya he dicho, se trata de terriblemente Es difícil expresarlo con palabras y símbolos, pero la idea subyacente es bastante elemental.

Así que podríamos construir pares de funciones de la siguiente forma:

$$\frac{1}{x((1-x)^k.(1+x)^{n-k})^{1/n}} $$

&

$$\frac{1}{x((x-1)^k.(1+x)^{n-k})^{1/n}} ,$$ donde $n$ es un número natural, y $k$ es uno de los Conjunto totiente de Euler de $n$ ; y las funciones obtenidas tomando las primitivas de éstas deben tener este propiedad recíproca que hemos estado discutiendo de las integrales de sus inversas siendo mutua inversas.

En realidad funciona de maravilla para el caso n=1, aunque eso da lugar a integrales que tienen infinitos; y está claro que funciona para n=2, ya que ese es el caso que motivó este post en primer lugar. En cuanto a valores más altos de n ... cualquier cosa > 2 resulta en funciones hipergeométricas completamente diabólicas que tienen quién-sabe-qué inversas, y tendré que introducirlas en algún tipo de paquete matemáticas para comprobar si tienen esta propiedad. En realidad no es tan malo para mutua inversos (un poco como si no fuera tan malo probar si dos números son coprimo ): no es necesario calcular las inversas, basta con introducir una en la otra como argumento y comprobar si la función identidad desaparece.

Para n=1, el par es

$$-\ln(e^{-y}+1)$$

&

$$-\ln(e^{-y}-1) .$$

El primero es de

$$\frac{-1}{x(1-x)}$$

... integral ...

$$\ln\frac{1-x}{x}$$

... inversa ...

$$\frac{1}{1+e^y}$$

... integral ...

$$-\ln(e^{-y}+1) ;$$

& este último de

$$\frac{1}{x(x-1)}$$

... integral ...

$$\ln\frac{x-1}{x}$$

... inversa ...

$$\frac{1}{1-e^y}$$

... integral ...

$$-\ln(e^{-y}-1) .$$

Esto no es tanto de una generalización como esperaba; pero al menos muestra el par original de funciones que se consultan como parte de algunos tipo de patrón, y no sólo un caso especial aislado que simplemente sucede para tener esa propiedad porque hace ¡!

Las funciones obtenidas en $n=1$ creo que merece la pena hacer algunos comentarios por varios motivos. Por un lado, se observará que en este caso $\operatorname{f_l} \& \operatorname{f_r}$ no son realmente diferentes en todos ¡! Sin embargo ... el integrales son diferentes funciones. Y también obtenemos infinitos en este caso, pero afortunadamente no frustrar el razonamiento. Si nos fijamos en todo el asunto gráficamente vemos que en nuestro conocido $n=2$ las dos integrales $\operatorname{g_l} \& \operatorname{g_r}$ brotar de el punto (1,0) al cuadrado; mientras que las funciones bajo $n=1$ proceden asintóticamente de (1, -∞); y para $n>1$ partirán del punto (1,0) con un comportamiento tendente a linealidad - ^1-1/n para ser más precisos - por lo que la vertical y luego curvándose hacia abajo sección se irá estrechando progresivamente con el aumento $n$ . Esto nos lleva al siguiente punto: las funciones para $n=1$ positivamente abundar en negatividad; normalmente querría traducir todo el asunto en una región mejor poblada por positivo números ... pero creo que en este caso es mejor dejarlos como están, ya que mejor-exhiben que continuidad y progresión del comportamiento que acabamos de describir. También se aplica a las funciones que constituyen el resultado final: como cualquier inversiones mutuas de buena fe que se precien deberían ser reflexiones mutuas en la línea $x=y$ ; en el $n=2$ caso de que surjan de el origen & 'splay-out' para convertirse en asypmtotic uno a la línea $x=\pi/2$ el otro a la línea $y=\pi/2$ mientras que en $n=1$ caso de que se acerquen asintóticamente de (-∞, -∞) a lo largo de la rama negativa del gráfico de la función identidad, y se extienden hasta convertirse en asintóticas, una a la $x$ -y el otro al eje $y$ en el caras negativas de ellos: esto podría incurrir en que la mayor parte del asunto es en términos de números negativos ... pero lo mejor muestra que continuidad de la evolución del comportamiento con el aumento de $n$ .

Imágenes para Case $n=2$ (el tema original del post)

El diagrama superior muestra las funciones $y=\operatorname{asech}x$ & $y=\operatorname{asec}x$ y cuanto menores sean las integrales de éstas a lo largo de la $y$ -eje $x=\operatorname{acos}\operatorname{sech}y$ & $x=\operatorname{acosh}\operatorname{sec}y$ .

Imágenes del caso $n=1$

El diagrama superior muestra las funciones $y=\operatorname{ln}((1-x)/x)$ & $y=\operatorname{ln}((x-1)/x)$ y cuanto más bajas sean las integrales de éstas a lo largo del $y$ -eje $x=-\operatorname{ln}(e^{-y}+1)$ & $x=-\operatorname{ln}(e^{-y}-1)$ .