¿Cómo derivar el teorema de divergencia del teorema de General Stokes?

Question

Por tanto, dada la generalizada del teorema de Stokes:

$$\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega$$

donde M es un n-dimensional de la superficie y $\omega$ es una p-forma de M (p < n). ¿Cómo puedo derivar el Teorema de la Divergencia?

$$\iint_S {\bf F} \cdot d{\bf S} = \iiint_R \text{div}\;{\bf F}\; dV$$

También tengo otra pregunta relacionada con la. Estoy aprendiendo que hay varios teoremas, como el teorema de la divergencia, que son casos especiales de la generalizada del Teorema de Stokes. Por ejemplo, al parecer, el Kelvin-Stokes Teorema es un caso especial de la General, el Teorema de Stokes, donde n=2. Así que mi 2da pregunta es, ¿qué pasa si n=1 en la general, el teorema de stokes? ¿Qué supondría?

Gracias.

Answer 1

Deje $\Omega$ ser un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ $\partial\Omega$ de la clase $\mathscr{C}^\infty$, y deje $X$ ser suave, un campo de vectores en $\Omega$. Ahora calculamos el \begin{align} d(i_X\operatorname{vol}_{\Omega}) & = d\left(i_X\left(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\right)\right) \\ & = d\left(\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}X_i~dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\cdots\wedge dx^n\right) \\ & = \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial X_i}{\partial x^i}~dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \\ & = (\operatorname{div}X)\operatorname{vol}_{\Omega}, \end{align} donde $\operatorname{vol}_\Omega$ denota la forma de volumen en $\Omega$, e $i_X$ denota el producto en el interior de con $X$. A partir de Stokes teorema obtenemos $$\int_{\Omega}\operatorname{div}X~\operatorname{vol}_{\Omega}=\int_{\Omega}d(i_X\operatorname{vol}_{\Omega})=\int_{\partial\Omega}i_X\operatorname{vol}_{\Omega}.$$ Ahora descomponer $X$ a es tangencial y normal de los componentes en $\partial\Omega$, es decir,$X=X^\top+X^\bot$. A continuación, se calcula $$i_X\operatorname{vol}_{\Omega}=\operatorname{vol}_{\Omega}(X^\top+X^\bot,\cdots)=\operatorname{vol}_{\Omega}(\langle{X,\mathbf{n}}\rangle\mathbf{n},\cdots)=\langle X,\mathbf{n}\rangle \operatorname{vol}_{\partial\Omega},$$ donde en la anterior $\mathbf{n}$ es exterior que enfrenta la unidad vector normal en $\partial\Omega$. Ahora la costumbre teorema de la divergencia se sigue inmediatamente: $$\int_{\Omega}\operatorname{div}X~\operatorname{vol}_{\Omega}=\int_{\partial\Omega}\langle X,\mathbf{n}\rangle \operatorname{vol}_{\partial\Omega}.$$