Encontrando $\lim_{x\to 0} \frac{1 + 1/x}{1 + 1/x^2}$ utilizando la definición de un límite

Question

Necesito calcular $$\lim_{x\to 0} \dfrac{1 + 1/x}{1 + 1/x^2}$$ utilizando la definición de un límite o demostrar que no existe.

Mi intento:

Dado $\epsilon > 0$ queremos encontrar $N$ tal que $\forall x \geq N$ ,

$$\left|\dfrac{1 + 1/x}{1 + 1/x^2} - 0\right| < \epsilon.$$

Tenemos

$$\left|\dfrac{1 + 1/x}{1 + 1/x^2} - 0\right| = \left|\dfrac{x^2 + x}{x^2 + 1}\right| \leq \dfrac{x^2 + x}{x} = x + 1 < \epsilon. $$

Así, podemos elegir $N \geq \epsilon - 1$ y luego cuando $x > N$ tenemos $\left|f(x)\right| < \epsilon \implies \lim_{x\to 0 } f(x) = 0$

Answer 1

Dejemos que $f:\mathbb{R}{\setminus}\{0\}\to \mathbb{R}$ se define por $$f(x)=\frac{1 + 1/x}{1 + 1/x^2}$$

Reclamación: $\;\lim_{x\to 0}f(x) = 0$ .

Dejemos que $\epsilon > 0$ y que $\delta=\min\bigl(1,{\large{\frac{\epsilon}{2}}}\bigr)$ .

Supongamos que $|x| < \delta$ , $x\ne 0$ . Queremos demostrar que $|f(x)| < \epsilon$ .

Desde $|x| < 1$ se deduce que $|x+1| < 2$ Por lo tanto \begin{align*} |f(x)| &=\left|\frac{1 + 1/x}{1 + 1/x^2}\right|\\[4pt] &=\left|\frac{x^2+x}{x^2 + 1}\right|\\[4pt] &=\frac{\left|x^2+x\right|}{\left|x^2+1\right|}\\[4pt] & < \left|x^2+x\right|\\[4pt] &=\left|x(x+1)\right|\\[4pt] &=|x||x+1|\\[4pt] &< 2\left|x\right|\\[4pt] & < 2\delta\\[4pt] &< \epsilon\\[4pt] \end{align*} como se iba a demostrar.

Answer 2

Parece que estás mezclando dos cosas diferentes $\epsilon$ - $\delta$ definiciones. Aquí están:

1. Dejemos que $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ sea una secuencia en $\mathbb{R}$ . Decimos que $x_n$ converge a $x$ si para cada $\epsilon > 0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $|x_n - x| < \epsilon$ para todos $n \geq N$ .
2. Dejemos que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $c \in \mathbb{R}$ . Decimos que $f$ tiene límite $L$ en $c$ si para cada $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $|f(x) - L| < \epsilon$ siempre que $0 < |x-c| < \delta$ .

Es necesario utilizar la segunda definición, pero de alguna manera hay un $N$ en su prueba, y usted está haciendo una declaración para todos $x \geq N$ Lo cual no tiene sentido.

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Sin embargo, la suposición de $L = 0$ es exacta, y tenemos $$ \left| \frac{1+1/x}{1+1/x^2} - 0 \right| = \left| \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} \right|. $$ Por lo tanto, si $0 < |x| < \delta$ para un delta suficientemente pequeño (digamos, $0 < \delta < 1$ ), entonces $$ \left| \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} \right| = |x|\frac{x+1}{x^2 + 1} < \delta(\delta + 1), $$ donde la última desigualdad se mantiene porque $\inf\{x^2 + 1 : 0 < |x| < \delta\} = 0$ y no se alcanza dentro del dominio. Por lo tanto, dado $\epsilon > 0$ si elegimos $\delta > 0$ tal que $\delta < 1$ y $\delta(\delta + 1) < \epsilon$ entonces hemos terminado. La única raíz positiva de $y^2 + y - \epsilon = 0$ es $$ \frac{-1 + \sqrt{1 + 4\epsilon}}{2}. $$ Dejemos que $\epsilon_1 = \min \{ \epsilon, 1 \}$ y elija $$ \delta = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4\epsilon_1}}{2}. $$ Entonces, esta elección de $\delta$ satisface nuestros criterios requeridos.