Tengo tres identidades para probar:
Probé (1) y (2), salvo (3)
Sé que f (x) se puede factorizar (xi-xj) términos (exactamente n(n-1)/2 factores), pero esto es todo lo que sé.
Cualquier ayuda sería apreciada.
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Zach Teitler
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214
El determinante de Vandermonde es una suma de monomials cuyo exponente vectores son permutaciones de los vectores $(0,1,2,\dotsc,n-1)$, con alternancia de signos. Es decir, el monomio $x_1^0 x_2^1 x_3^2 \dotsm x_n^{n-1}$ coeficiente de $+1$, y para cada permutación $x_1^{\pi(0)} \dotsm x_n^{\pi(n-1)}$$\pi \in S_n$, el coeficiente es el signo de la permutación $\pi$.
Ahora, para cada una de las $i$, la segunda derivada $\partial^2 f/\partial x_i^2$ implica monomials cuyo exponente vectores tienen $n-1$ distintos números de$0$$n-1$, sumando $\frac{n(n-1)}{2}-2$, con exactamente una repetición. Estos son los únicos posibles términos que pueden aparecer en la expresión en la ecuación (3), $\sum_i \partial^2 f/\partial x_i^2$.
Para considerar un posible plazo $x_1^{a_1} \dotsm x_n^{a_n}$ donde$a_1,\dotsc,a_n$$\{0,\dotsc,n-1\}$, suma a $\frac{n(n-1)}{2}-2$, y tiene exactamente una repetición. Dicen $a_i = a_j$, $i<j$.
Considere la posibilidad de que los dos términos en $f$$x_1^{a_1} \dotsm x_i^{a_i+2} \dotsm x_j^{a_j} \dotsm x_n^{a_n}$, e $x_1^{a_1} \dotsm x_i^{a_i} \dotsm x_j^{a_j+2} \dotsm x_n^{a_n}$. Aparecen en $f$ con signos opuestos debido a que los pares de $(a_i+2,a_j)$ $(a_i,a_j+2)$ han sido transpuesta (y todas las demás atribuciones que la misma estancia, entre estos dos términos, y $a_i=a_j$).
El primer término contribuye $\pm a_i(a_i-1) x_1^{a_1} \dotsm x_n^{a_n}$$\partial^2 f/\partial x_i^2$. El segundo término contribuye $\mp a_j(a_j-1) x_1^{a_1} \dotsm x_n^{a_n}$$\partial^2 f/\partial x_j^2$. En la suma en (3), estas contribuciones se anulan.
Hector Blandin
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6
(De Laurent Manivel libro de Simétrica Funciones, Schubert Polinomios)
El Vandermonde polinomio $\Delta_{n}(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i<j}(x_i-x_j)=f(X)$ es armónico (este es el Laplaciano es cero) porque es simétrica derivaciones son antisimétrica polinomios de grado estrictamente menor que $\ \deg(\Delta_n)=\displaystyle{\frac{n(n-1)}{2}}$.
De hecho, el espacio vectorial de Armónica polinomios $\mathcal{H}_n$ es el lineal útil de la determinante de Vandermonde y todas sus derivadas parciales de todos los pedidos. Un polinomio $g(x_1,\ldots,x_n)\in\mathcal{H}_n$ si y sólo si $p(\partial_1,\ldots,\partial_n)(g)=0$ para todo el término constante de libre polinomio simétrico $g(x_1,\ldots,x_n)$. Donde $\partial_i$ es la derivada parcial con respecto a $x_i$.
