La variable aleatoria $X_m$ es el número de ensayos antes de
$n\notin\mathbb P\wedge n|2^{n-1}-1$ donde $n$ es una extraña entero aleatorio $2^{m-1} < n < 2^m$.
Las simulaciones por ordenador que me hace creer que $\text E[\log X_m]=\frac{m}{6}$ y $\text{Var}[\log X_m]<1$.
Estoy buscando algún tipo de prueba de esta conjetura, y me gustaría saber cómo calcular o estimar el $P(X_{1000}=1)$, dado que la conjetura es verdadera.
El contexto es: ¿es segura la primalidad de Fermat de la prueba con base $2$ en números con $1000$ bits binarios? En comparación con la probabilidad de errores de hardware?
Bueno, tal vez el 10 en el logaritmo no indicador para un exacto $\frac{m}{6}$. La línea de regresión es$\log N= 0.1666\cdot m+0.006$, lo que se interpreta como $N=10^{\frac{m}{6}}$, pero también podría ser interpretado como $N=\pi^{\frac{m}{3}}$ dentro de los marginales. $\overset{..}{\smile}$
$3251$ simulaciones total hasta el momento. Algunos de los más bajos de los experimentos de $(m=10)$ ha sido eliminado, ya que los menores tiempos parciales da más resultados irregulares. En algunos tiempos parciales no hay discrepancias. También largo tiempo de ejecución de los resultados de $m=40$ está incluido, por lo que la ecuación de la recta de regresión se ha cambiado un poco.
Diagrama de la media de los valores de cada uno de los m
