Esta pregunta es un poco diferente de la que hice antes.
Supongamos que tengo un campo algebraicamente cerrado de característica principal, ¿es posible encontrar un epimorfismo$K^*\to K^*\times K^*$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mi respuesta a esta otra pregunta de la OP puede ser utilizado para responder a esta pregunta con bastante rapidez. $\newcommand{\tors}{\operatorname{tors}}$
Es decir, primero supongamos que $K$ es algebraica sobre un campo finito. A continuación, $K^{\times}$ es una torsión de grupo. Es fácil ver que $K^{\times}$ no surject en $K^{\times} \times K^{\times}$: supongamos $\varphi: K^{\times} \rightarrow K^{\times} \times K^{\times}$ es un surjective homomorphism. Deje $x,y \in K^{\times} \times K^{\times}$ dos elementos de primer orden $\ell$ tal que $\langle x \rangle \neq \langle y \rangle$, lo $f = \langle x,y \rangle \cong (\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z})^2$. Deje $X \in \varphi^{-1}(x)$$Y \in \varphi^{-1}(y)$, y poner $F = \langle X, Y \rangle$, lo $\varphi$ restringe a un homomorphism de$F$$f$. Pero $F$ es un finitely genera torsión subgrupo del grupo de unidades de un campo, por lo $F$ es finito cíclico, pero tiene un no cíclicos imagen homomórfica $f$: contradicción.
Ahora supongamos que $K$ no es algebraica sobre un campo finito. Entonces por mi respuesta anterior, $K^{\times}$ tiene una directa sumando $V$ $\mathbb{Q}$- espacio vectorial de dimensión $\# K$. Observe que $K^{\times}[\tors]$ es una imagen homomórfica de $\mathbb{Q}$: $\mathbb{Q}/\mathbb{Z} = \bigoplus_{\ell} \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}$; ya están en el carácter $p$, además mod a cabo por el factor de $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ para obtener un grupo isomorfo a $K^{\times}[\tors]$. Desde $\operatorname{dim} V$ es infinito, $V \cong (\mathbb{Q} \oplus V) \oplus (\mathbb{Q} \oplus V)$, que surjects en $K^{\times} \oplus K^{\times}$.
El resultado también es cierto para todos los algebraicamente cerrado campos de la característica $0$.
De hecho, estoy bastante seguro de que al $K$ es algebraicamente cerrado y no algebraicas sobre un campo finito, entonces el homomórfica imágenes de $K$ son precisamente los divisible entre grupos de cardinalidad en la mayoría de las $\# K$.
