Demostrando que $A=\{a_1,...,a_r\}$ es un conjunto cerrado

Question

Dejemos que $A=\{a_1,\dots,a_r\}, a_i \in \mathbb{R}, i=1,...,r$ . Demostrar que $A$ es un conjunto cerrado. Como un poco principiante, he escrito una prueba y quería ver si es lo suficientemente bueno / bien estructurado.

Así que quiero mostrar que $\partial A\subseteq A$ , donde $\partial A=\{a \in A:D(a,\delta) \cap A\neq\emptyset, D(a,\delta)\cap(\mathbb{R}\setminus A)\neq\emptyset, \forall\delta>0\}$ es el conjunto de puntos límite de $A$ . El barrio de $A$ para cualquier $\delta>0$ se denota por $D(a,\delta)=(a-\delta,a+\delta)$ .

Dejemos que $a \in A$ . Para todos los $\delta>0$ ,
$D(a,\delta)\cap A\neq\emptyset$ (ya que $D(a,\delta)\cap A=\{a\}$ incluso para un tamaño arbitrario $\delta$ ).
También, $D(a,\delta)\cap(\mathbb{R}\setminus A)\neq\emptyset$ .
Así que $a \in \partial A$ para todos $a \in A$ .

Ahora dejemos que $B=\mathbb{R}\setminus A$ y $y\in B$ .
Si $y<\min A$ entonces $D(y, \frac{\min A-y}{2})\subseteq B$ Así que $y$ es exterior a $A$ .
Si $y>\max A$ entonces $D(y,\frac{y-\max A}{2})\subseteq B$ Así que $y$ es exterior a $A$ .
Si $a_j<y<a_k$ , donde $a_j\in A$ y $a_k=\min(A\setminus\{a\in A: a\leq a_j\})$ y $\delta=\frac{1}{2}\min(y-a_j,a_k-y)$ entonces $D(y,\delta)\subseteq B$ Así que $y$ es exterior a $A$ .
Por lo tanto, cada elemento de $B=\mathbb{R}\setminus A$ es exterior a $A$ .

Así que $\partial A=\{a_1,\dots,a_r\}=A$ o $\partial A\subseteq A$ Así que $A$ es un conjunto cerrado.

1) ¿Es correcta mi conclusión (y la forma en que llegué a ella)? ¿Cada uno de los elementos de $A$ un punto límite de $A$ ?
2) Creo que he complicado mi prueba un poco más de lo que debería, ¿hay alguna forma más sencilla?
3) ¿Consejos para el formato/la anotación?

Answer 1

Me parece que la introducción de $\partial A$ en la discusión complica demasiado las cosas.

Yo lo argumentaría así, que en mi opinión es algo más sencillo:

Para cada $a_k$ , $1 \le k \le r$ el conjunto $\Bbb R \setminus \{ a_k \}$ es abierto; esto es fácil de ver, ya que si $p \in \Bbb R \setminus \{a_k\}$ el intervalo abierto

$(p - \delta, p + \delta) \subsetneq \Bbb R \setminus \{a_k\}, \tag 1$

donde

$\delta = \dfrac{\vert p - a_k \vert}{2}, \tag 2$

contiene $p$ y está totalmente contenida en $\Bbb R \setminus \{a_k \}$ por lo tanto $\Bbb R \setminus \{ a_k \}$ es abierta, ya que contiene una vecindad abierta $(p - \delta, p + \delta)$ de cualquiera de sus puntos $p$ por lo que el complemento de $\Bbb R \setminus \{a_k\}$ que es el singleton $\{a_k\}$ está cerrado.

Ahora simplemente se utiliza el hecho de que un finito la unión de conjuntos cerrados es cerrada, y

$A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_r \} = \displaystyle \bigcup_{k = 1}^r \{ a_k \}. \tag 3$

Answer 2

Lo que has hecho es correcto.

Sin embargo, se puede simplificar la prueba. Un conjunto es cerrado si y sólo si su complemento es abierto. Por tanto, basta con demostrar que $B$ está abierto. Toma $y \in B =\mathbb R \setminus A$ . Puede utilizar la distancia de un punto $y$ a un conjunto $S$ que es $d(y,S)= \inf\limits_{s \in S} d(y,s)$ . Como $A$ es finito, es fácil demostrar que para $y \in B$ , usted tiene $d(y,A)>0$ . Entonces el intervalo abierto $I=(y-d(y,A),y+d(y,A))$ es tal que $I \subseteq B$ demostrando como se desea que el complemento de $A$ está abierto.

Esta prueba destaca el papel de la distancia de un punto a un conjunto, que es un tema interesante de conocer.

Answer 3

1. En primer lugar, usted afirma $$ D(a,\delta) \cap \mathbb{R} = \{a\} $$ pero esto no es per se cierto. Usted quiere tener $$ D(a,\delta) \cap \mathbb{R} \supset \{a\} $$ lo que también implica que el lado izquierdo no es vacío.
2. A continuación, afirma que $$ D(a,\delta) \cap (\mathbb{R}\setminus A) \neq \varnothing $$ ¿Puede argumentar por qué es así?
3. El argumento de que $\mathbb{R}\setminus A$ no forma parte de la frontera puede hacerse de forma más directa. Por otra parte, usted reclama un montón de cosas. También puedes probar tus afirmaciones. Si quieres que tu prueba sea más directa (sin dividir el argumento en tres casos), podrías, por ejemplo, considerar $$ \delta = \min_{i=1,\dots,r}|b - a_i|/2. $$ ¿Puede demostrar ahora que $D(b,\delta)\subset \mathbb{R}\setminus A$ . Asegúrese de no reclamar esto ya que necesita probarlo.

Por supuesto, es más fácil hacerlo de una manera diferente, porque ahora realmente mostró $\partial A = A$ lo cual es suficiente, pero no es necesario. Por ejemplo, demostrar que $\mathbb{R}\setminus A$ está abierto, que es esencialmente lo que hiciste al demostrar que es parte del exterior es suficiente.

Answer 4

Su definición de puntos límite es problemática.

$$\partial A=\{a \in A:D(a,\delta) \cap A\neq\emptyset, D(a,\delta)\cap(\mathbb{R}\setminus A)\neq\emptyset, \forall\delta>0\}$$

Los puntos límite de un conjunto no son necesariamente elementos del conjunto.

Eso es lo que querías demostrar.

Sobre tu prueba, ¿no es más fácil demostrar que el complemento de tu conjunto que es una unión de intervalos abiertos es abierto?

Answer 5

Mi enfoque es mostrar que $\mathbb{R} \setminus A$ está abierto. Si $x \in \mathbb{R}$ , entonces la pelota $B_x(\frac{1}{2}\min(|x-a_1|,...,|x-a_n|))$ no toca ningún punto de $A$ Por lo tanto $B_x(\frac{1}{2}\min(|x-a_1|,...,|x-a_n|))\subset \mathbb{R} \setminus A$ . Esto demuestra que $\mathbb{R} \setminus A$ está abierto, por lo que $A$ está cerrado.