No estoy seguro de entender completamente el concepto (he leído muchas de las definiciones de wikipedia para muchos de estos temas, pero todavía estoy confundido). Por ejemplo, es un surrealista número un ejemplo de no edificable real? Puede un no-constuctible real se representa como una secuencia infinita de dígitos (por lo tanto, es un regular no-computable real, después de todo)? Es un edificable real de la analogía a la no-estándar naturales (algo que está fuera de la intención de modelo de los números naturales, o en este caso, de los números reales? Lo que hace que ellos no constuctible?
Respuesta
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Los números reales son lo habitual. Surrealista no son los números los números reales, así que no, no son un ejemplo de no edificable de reales. Real $r$ puede ser escrito como una secuencia infinita $(n;d_1,d_2,\dots)$ donde $n$ en un entero y el $d_i$ son dígitos. Si lo real es racional, edificable o no, es irrelevante. Cualquier número racional, de hecho, cualquier algebraica de números, y cualquier trascendental número que alguna vez se encuentra en análisis, teoría de números, o incluso la teoría de la computabilidad, es edificable. Así, cada no edificable real es trascendental y noncomputable, pero el recíproco no es cierto. No hay ninguna analogía entre edificable/no edificable de reales y estándar/no estándar de números naturales. Son cosas completamente diferentes.
Creo que responde directamente a sus preguntas. Como por la principal: Un modelo de la teoría de conjuntos se compone de una clase (tal vez un conjunto, tal vez una clase adecuada) $M$, junto con una relación binaria $E$ $M$ tal que $(M,E)$ satisface los axiomas de la teoría de conjuntos (si esto significa $\mathsf{ZF}$, $\mathsf{ZFC}$, o alguna variante del mismo no importa mucho para esta discusión). Este uso de la palabra el modelo no es muy canónica de uso en el modelo de la teoría, pero que va a hacer por nosotros.
La obvia modelo de la teoría de conjuntos es la clase de $V$ de todos los conjuntos, con $E$ estándar de la membresía. Pero puede haber otros modelos. Gödel identificado a uno, que llamaremos $L$ y cuyos elementos llamamos edificable. $E$ es el nuevo estándar de la membresía. Sin embargo, hemos de restringir lo que los conjuntos pertenecen a $L$. Con el fin de estar en $L$, un conjunto de necesidades a ser "definible, en un sentido preciso: $L$ es organizado por etapas, indexado por los ordinales. Empezamos con el conjunto vacío. En una etapa dada, hemos construido una aproximación a$L_\alpha$$L$, y vamos a la siguiente etapa mediante la adición de a $L_\alpha$ todos los conjuntos que son de primer orden definibles colecciones en la estructura de la $(L_{\alpha+1},\in)$, permitiendo a los parámetros. Recogemos lo que tenemos hasta ahora en el límite de las etapas, y $L$ es simple, la unión de todas estas aproximaciones.
En un sentido, esta clase parece bastante restrictivas. Los conjuntos que pertenecen a $L$, no sólo debe ser definible, que ya puede ser visto como un mal restricción, pero por encima de eso, su definición es "local", desde el suelo. Esta es otra restricción, ya que nada impide que un conjunto de ser definible en términos de todo el universo de los conjuntos, o tal vez en términos de un gran fragmento del universo, sin que sea definible en la forma que se requiere aquí. Por ejemplo, podríamos definir un real por $$ r=0.d_1d_2\dots $$ where $d_i=1$ iff $2^{\aleph_i}=\aleph_{i+1}$, and $d_i=0$ otherwise. This real may well not be constructible, as the $L_\alpha$ (and even $L$) do not appear to have access to the true power set operation, and so may not "know" whether $2^{\aleph_i}$ is $\aleph_{i+1}$ or not. Of course, maybe $r$ is constructible "by accident" (for all we know, $r$ could be $0$, por ejemplo).
Lo que Gödel demostró es que el estándar de los axiomas de la teoría de conjuntos no son suficientes para identificar una sola no edificable establecido. Más precisamente, Gödel demostró que $L$ es un modelo de la teoría de conjuntos, y que en este modelo, la afirmación "cada conjunto es edificable" es cierto. Por lo tanto, es coherente que no hay edificable de reales, y desde todos los clásicos de la matemática puede ser fácilmente formalizado dentro de los estándares de la teoría de conjuntos, todos los números reales nos encontramos en la práctica son construibles. De hecho, una vez que nos conformamos con lo que el modelo de los reales vamos a usar (si Dedekind cortes, o clases de Cauchy secuencias, etc) podemos comprobar fácilmente que todos los reales que encontramos en la práctica aparecen en algunos $L_\alpha$ y, si tenemos la paciencia para ese tipo de cosas, incluso podemos proporcionar decente límites superiores para la forma de un gran $\alpha$ tiene que ser.
Dicho esto, la opinión predominante entre la práctica de conjunto de los teóricos es que (si la discusión de estos asuntos tiene sentido en absoluto) no todos los conjuntos son construibles y, por otra parte, no todos los reales son construibles. Más allá de eso, no hay mucho más que se puede decir en todos los casos. Si aceptamos la existencia de ciertos grandes cardenales, podemos demostrar específicos reales de los que no son construibles, pero estos reales no son objetos que encontramos en la clásica de las matemáticas, y la manera de "prueba" de ellos es mucho más allá de la forma usual en que se describe un número (digamos) el análisis. Por ejemplo, es común hablar de $0^\sharp$ como canónica no edificable real, pero este es un objeto que no estudiamos desde el punto de vista de la teoría de los números o el análisis clásico, y si su quinto dígito es $3$ o no es el tipo de pregunta que realmente no importan.
Uno de los principales descubrimientos en el siglo 20 la teoría de conjuntos es el hecho de que hay muchos naturales declaraciones que no son decidable por la costumbre axiomas, es decir, para cada una de estas afirmaciones $\phi$ hay modelos de la teoría de conjuntos donde $\phi$ mantiene y modelos en el que falla. Si aceptamos $\phi$ como parte de lo que es verdad de que el universo de los conjuntos, es muy posible que $\phi$ implica la existencia de no-edificable de reales. Por ejemplo, $\phi$ podría ser la afirmación "La Borel conjetura es verdadera". Esta declaración significa que si un conjunto de reales es fuertemente null, entonces es contable. Desde esta declaración implica la negación de la hipótesis continua, y la continuidad hipótesis es verdadera en el edificable universo, entonces tenemos que no debe ser no edificable de reales. Más allá de eso, no se puede decir mucho.
Por supuesto, la discusión aquí es en su contexto, así en un modelo de la teoría de conjuntos no puede ser no edificable de reales, en otro puede ser, y en un tercer modelo no puede ser así, aunque los dos últimos no tienen nada en común. (También, en la de arriba, estoy asumiendo tácitamente la consistencia de las teorías discutidas para evitar engordar el texto con comentarios sobre la consistencia relativa.)
