límite del número de los primos en un intervalo de longitud n

Question

Hice esta observación y me parece razonable preguntar :si $n$ es un número natural entonces el número de los primos menores o iguales a $n$ se denota por $(n)$ . ¿es cierto que en cualquier intervalo de longitud $n$ hay como máximo $(n)+1$ primos?(el $+1$ es necesario para la trivial ocasión en que $n=p-1$ y el intervalo de longitud $n$ es $[2,p]$ ) Alternativamente podemos decir que en cualquier intervalo de longitud $n-1$ hay como máximo $(n)$ primos.

Answer 1

Esta es una conjetura bien conocida. Incluso tiene un nombre: el Segunda conjetura de Hardy-Littlewood en la forma: $\pi(x+y) \le \pi(x)+\pi(y)$ para $x, y \ge 2$ .

Durante mucho tiempo se pensó que esto era cierto. Luego, en 1974, Ian Richards mostró que era incompatible con la Primera conjetura de Hardy-Littlewood ¡! Lo hizo construyendo explícitamente una constelación prima admisible de longitud $x$ y tamaño mayor que $\pi(x)$ . Los ordenadores estaban implicados. Véase aquí para más detalles.

La Primera Conjetura H-L se considera una cosa segura, lo que ha llevado a la mayoría de los matemáticos a abandonar la Segunda Conjetura H-L (aunque es probable que cualquier contraejemplo sea extremadamente grande).

Answer 2

Una combinación del Desigualdad Brun-Titchmarsh y el Teorema de los números primos dará como resultado lo siguiente: Para cada $\epsilon>0$ existe $N$ tal que para $y>N$ y para cada $x>0$ tenemos $$\pi(x+y)-\pi(x)<(2+\epsilon)\pi(y).$$

Sin embargo, esto no es tan bueno como lo que pides, ya que quieres para cada $M,N$ $$\pi(M+N)-\pi(N)\leq \pi(M)$$ ¿Es esto cierto o no? Según mi texto de teoría analítica de números (Montgomery y Vaughn):

Una vez se conjeturó que $$\pi (M+N)\leq \pi (M)+\pi (N)$$ para $M>1$ , $N>1$ pero ahora hay serias dudas sobre la validez de esta desigualdad. De hecho, parece probable que $\rho(y)>\pi (y)$ para todos los grandes $y$ .

Aquí, $\rho(y)$ se define como $$\limsup_{x\rightarrow\infty}(\pi (x+y)-\pi (x)).$$

Espero que eso ayude.

Answer 3

Se trata, en efecto, de un problema abierto conocido, la conjetura de Hardy-Littlewood :

$$\pi(x+y) - \pi(x) \le \pi(y)$$