No es igual a

Question

Que $x>y>0$ y $xy\geq 1$. Demostrar que %#% $ #%

Por supuesto podemos factor $$\frac{x^3+y^3}{x-y}>4.$, pero no es muy útil. Fijo $(x^3+y^3)=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, podemos intentar encontrar el valor mínimo de $x-y$ tal que $x,y$ y que $xy\geq 1$ para esos valores. Pero que asciende a la solución de la cuadrática $\frac{x^3+y^3}{x-y}>4$ y la respuesta sería bastante feo sustituir en la desigualdad.

Answer 1

$$x^3+y^3 - 4(x-y) \ge 2(x^2 - xy +y^2) - 4(x-y) $$

$$= 2(x^2 - 2xy +y^2 - 2(x-y) + xy) \ge 2(x-y-1)^2$$

Donde, hemos utilizado $x+y \ge 2\sqrt{xy} \ge 2$ y $xy \ge 1$