Cómo resolver $\sqrt{49-x^2}-\sqrt{25-x^2}=3$ ?

Question

Reconozco las dos diferencias de las plazas: $49-x^2$ y $25-x^2$ .

He elevado al cuadrado la ecuación para obtener ${49-x^2}-2(\sqrt{(49-x^2)(25-x^2)})+{25-x^2}=9$

Sin embargo, no consigo saber cómo quitar la raíz del medio. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia . Usted puede simplemente escribir $$ {49-x^2}+{25-x^2}-9=2\sqrt{(49-x^2)(25-x^2)} $$ simplificar y elevar al cuadrado ambos lados una vez más .

Answer 2

Otra solución \begin{align*} \sqrt {49 - x^2} - \sqrt {25 - x^2} &= 3\\ \sqrt {49-x^2} &= 3+ \sqrt {25-x^2}\\ 49-x^2 &= 25 -x^2 + 9 + 6\sqrt {25-x^2}\\ 15 &= 6 \sqrt {25 - x^2}\\ 25 - x^2 &= \frac {25} 4\\ x^2 &= \frac {75}4\\ x &= \pm \frac 5 2 \sqrt 3. \end{align*}

Answer 3

Tenemos $$\sqrt{49-x^2}-\sqrt{25-x^2}=3$$ y $$\left(\sqrt{49-x^2}-\sqrt{25-x^2}\right)\left( \sqrt{49-x^2}+\sqrt{25-x^2}\right)=3\left(\sqrt{49-x^2}+\sqrt{25-x^2}\right),$$ que da $$\sqrt{49-x^2}+\sqrt{25-x^2}=8$$ y desde aquí $$\sqrt{49-x^2}=5.5,$$ que da la respuesta: $$\left\{-\sqrt{18.75},\sqrt{18.75}\right\}.$$

Answer 4

Primero expresa una raíz: $$\sqrt{49-x^2}=3+\sqrt{25-x^2}$$ Ahora cuadra:

$$ 49-x^2=9+6\sqrt{25-x^2}+ 25-x^2\implies \boxed{5=2\sqrt{25-x^2}}$$

y cuadrar de nuevo...

Answer 5

Este es un buen comienzo. Ahora reordena la ecuación para que sólo quede la raíz cuadrada en el lado izquierdo. Vuelve a elevar al cuadrado. Entonces obtienes una ecuación bi-cuadrática, o ecuación "cuártica falsa". Introduce una nueva variable $y=x^2$ y entonces tienes una ecuación cuadrática en $y$ que puede resolver fácilmente.

Ten en cuenta que la toma de cuadrados no es una transformación equivalente, por lo que al final tienes que comprobar todas las soluciones. Algunas, o de hecho, todas pueden ser extrañas.