¿Existe una clasificación de todos los grupos p indecomposibles finitos?

Question

¿Existe una clasificación de todos los grupos p indecomposibles finitos? (algo como: esos son exactamente los cuaterniones, grupos cilíndricos primarios, algunos grupos diédricos, etc.).

Answer 1

Te voy a dar algunos ejemplos de indecomposable p-grupos, una encuesta de pedidos pequeños, y un asintótica descripción. Como Derek Holt señala, la mayoría de los p-grupos están directamente indecomposable, y tal vez haya un limpiador manera de describir la tercera sección.

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Algunos indecomposable finito p-grupos:

• cíclico grupos
• p-grupos de la máxima clase (con nilpotency clase n y el orden pⁿ⁺¹), incluyendo:
  • diedro grupos (de orden, al menos, 8)
  • cuaterniones grupos
  • semi-diedro grupos
• extra-especial grupos con un centro de orden p y primaria abelian cociente
• Cualquier grupo con un centro cíclico

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Cada grupo de orden p es directamente indecomposable (siendo cíclico).

Uno de los dos grupos de orden p² es directamente indecomposable (cíclica).

Tres de los cinco grupos de orden p³ son directamente indecomposable (cíclica de uno, y los dos no abelian que son ambos muy especial y máxima de clase).

Ocho de los catorce grupos de la orden de 16 y nueve de los quince grupos de orden p⁴ p impar son directamente indecomposable (todos, menos dos, con cíclico en el centro).

34 de 51 de orden 32, 49 de 67 de la orden de 243, 59 77 de orden 3125 y, a continuación, un patrón consistente de 61 + 2p + 2(3,p−1) + (4,p−1).

Mientras que los grupos están organizados en familias, incluso el número de familias que se convierte en inmanejable después de un punto y así, la técnica es necesaria para el mayor n.

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¿Dónde descomponible p-grupos? Son productos directos de los más pequeños de p-grupos. Sin embargo, hay alrededor de p^(2n3/27) grupos de orden pⁿ, y por lo que tomar productos directos de grupos de orden p^yo con los grupos de orden pⁿ⁻ⁱ para 1 ≤ i ≤ n/2 da un poco complicado suma, sino que es (para n) menos de 1/pⁿ th tan grande como p^(2n3/27). En otras palabras, una minúscula fracción de p-grupos son degradables, y el resto son indecomposable.