Si , entonces .

Question

¿Cómo puedo probar que $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {\ left \ lfloor x ^ {n +1} \ right \ rfloor} {\ left \ lfloor x ^ n \ right \ rfloor} = x , $$ siempre que$x>1$. Aquí$\left\lfloor \cdot\right\rfloor$ denota la función de piso, o la función de parte entera.

La parte entera$\lfloor z\rfloor$ de$z$ es el entero más grande, que no excede$z$.

Gracias por tu respuesta.

Answer 1

Como$y-1< \lfloor y\rfloor\le y$, para cada$y\in\mathbb R$, entonces $$ \ frac {x ^ {n +1} -1} {x ^ {n}} <\ frac {\ lfloor x ^ {n +1 } \ rfloor} {\ lfloor x ^ n \ rfloor} <\ frac {x ^ {n +1}} {x ^ n-1}, $$ y por lo tanto $$ x- \ frac {1} {x ^ n } <\ frac {\ lfloor x ^ {n +1} \ rfloor} {\ lfloor x ^ n \ rfloor} <x + \ frac {x} {x ^ n-1}, $$ o $$ - \ frac { 1} {x ^ n} <\ frac {\ lfloor x ^ {n +1} \ rfloor} {\ lfloor x ^ n \ rfloor} -x <\ frac {x} {x ^ n-1}, $$ con $$ - \ frac {1} {x ^ n}, \, \ frac {x} {x ^ n-1} \ a 0. $$