¿Cuándo es útil el álgebra cociente de un álgebra unital C*?

Question

Dejemos que $\mathcal A$ sea un álgebra unital C*.

¿Qué propiedades tiene $\mathcal B \subset \mathcal A$ tiene que tener para que tenga sentido formar el álgebra del cociente $\mathcal A / \mathcal B$ ?

En los casos en los que esta construcción tiene sentido, ¿ $\mathcal A / \mathcal B$ ¿tiene alguna estructura/propiedad especial que sea útil? Dicho de otro modo, ¿para qué tipo de preguntas estándar es útil considerar $\mathcal A / \mathcal B$ porque tiene propiedades deseadas?

Answer 1

Si $\mathcal{B}$ es un lugar cerrado $*$ -ideal de $\mathcal{A}$ entonces $\mathcal{A}/\mathcal{B}$ es de nuevo un álgebra C* unital. Esto se puede encontrar en cualquier introducción a las álgebras C*. Y, por supuesto, esta construcción básica se utiliza en todas partes, por lo que no tiene sentido empezar aquí una lista de aplicaciones. Un ejemplo bien conocido es el Álgebra de Calkin . En el caso conmutativo, tenemos $C(X)/I(A) \cong C(A)$ para subespacios cerrados $A \subseteq X$ con ideal de fuga $I(A)=\{f : f|_A=0\}$ .