Una función de $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ está definido por $f(x)=\dfrac{ax^2+6x-8}{a+6x-8x^2}$. Encontrar la integral de los valores de $a$ que $f$ a(surjective).
Mi intento:
Como se indica en la pregunta co-dominio de la función es$\mathbb R$, por lo que el rango de la función debe también ser $\mathbb R$ para la función a ser surjective. Así que el rango de $f(x)\in (-\infty,\infty)$ y esto es cierto sólo si el denominador de $f(x)$ se aproxima a cero para algunos $a$$x$.
Así que he usado desmo para ver en qué valores de $a$$x$, el denominador de $f(x)$ obtiene cero y me encontré con que en $a$ entre $(-1.5,0)$, $f(x)$ se acerca a cero y, por tanto, $f(x)$ tiende a $\pm\infty$
Pero mi respuesta es incorrecta, la respuesta correcta es $a\in [2,14]$ $f(x)\in(-\infty,\infty)$
No sé cómo hacer esto, gracias de antemano!
Respuestas
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Aquí no es una forma elegante de hacerlo. Usted desea buscar todas las $a$ tales que la ecuación $$ ax^2 + 6x - 8 = c(a + 6x - 8x^2) $$ tiene una solución para todas las $c$. Es decir, se desea encontrar todas las $a$ tal que $$ (a + 8c)x^2 +(6 - 6c)x + (-8 - ac) = 0 $$ tiene una solución para todas las $c$.
Esta ecuación tiene una solución exactamente cuando $$ [6(1 - c)]^2 + 4(a + 8c)(8 + ac) \geq 0. $$ Que es $$\begin{align} 36(1 - 2c + c^2) + 4(8a + a^2c + 64c + 8ac^2) \geq 0 \quad &\Rightarrow\\ 36 - 72c + 36c^2 + 32a + 4a^2c + 256c + 32ac^2 \geq 0 \quad&\Rightarrow \\ (36 + 32a)c^2 + (4a^2-72 + 256)c + (36 + 32a) \geq 0 \quad \end{align} $$ Así pues, usted desea encontrar todos los $a$ tal que la desigualdad se cumple para todos los $c$. La única manera que esto puede sostener por todos los $c$ es si $$ 36 - 32a \geq 0 \quad\text{y} \\ (4a^2 + 184)^2 - 4(36 + 32a)(36 + 32a) \leq 0 $$ Que es $$ (4a^2 + 184)^2 - 4(36+32a)^2 \leq 0 $$ La solución a esta desigualdad es exactamente $[2, 14]$ (Recordar que $36 - 32a$ también es necesaria para ser no negativo).
Requerimos que$ax^2+6x-8=k(a+6x-8x^2)$ tenga una solución real$x$ para cada$k$ real.
$(a+8k)x^2+6(1-k)x-(8+ak)=0$ tiene una raíz real iff$9(1-k)^2+(a+8k)(8+ak)\ge0$, y por lo tanto iff$(9+8a)k^2+(46+a^2)k+9+8a\ge0$ (*).
$a$ debe ser tal que (*) se mantenga para todos los$k$. Por lo tanto, debemos tener (1)$9+8a>0$ y (2)$(46+a^2)^2\le 4(9+8a)^2$ o$(a+8)^2(a-2)(a-14)\le0$.
Es fácil ver que estas condiciones se cumplen si ff$2\le a\le 14$.
