Cuestión de tamaño en la localización de una categoría.

Question

He leído en nlab y de otras fuentes que no puedo dar marcha atrás, que el proceso de localización de una categoría, puede llevar a que el tamaño de la cuestión. Más especialmente, a partir de un local pequeño de la categoría $\mathsf C$$\mathcal W \subseteq \mathrm{Mor}\, \mathsf C$, la categoría de $\mathsf C [\mathcal W^{-1}]$ podría no ser locales pequeños. Tan intuitivo como lo es, he tenido algunas dificultades para encontrar un cambio de tamaño de ejemplo.

La más simple que se puede encontrar (si no me equivoque) es la siguiente. Por el bien de rigor, vamos a decir que trabajamos con Grothendieck universos (pero creo que es exactamente lo mismo trabajar con un modelo fijo de algunos de teoría de conjuntos [como ZFC] y adecuada de las clases). Revisión Grothendieck universos $U$$V$$U \in V$, y deje $S$ $V$- pequeña, pero no $U$-pequeño (es decir, $S \in V$ pero $S \notin U$). A continuación, construir la categoría de $\mathsf C$

• cuyos objetos son : $x_0$, $x_1$ y todos los $s \in S$ ;
• cuyos morfismos son : $x_0 \to s$ todos los $s \in S$, e $x_1 \to s$ todos los $s \in S$, y, por supuesto, la identidad de morfismos.

$$ \mathsf C : \qquad \begin{matrix} && \vdots &&\\ & \nearrow & s & \nwarrow &\\ x_0 & \rightarrow & \vdots & \leftarrow & x_1 \\ & \searrow & s' & \swarrow &\\ && \vdots & \end{de la matriz} $$

A continuación, $\mathsf C$ es claramente $U$-a nivel local pequeño (el hom-conjuntos están vacíos o singleton, por lo $U$-pequeño). A continuación, elija $\mathcal W = \{x_0 \to s : s \in S \}$ y localizar. Nos encontramos con una categoría

$$ \mathsf C[\mathcal W^{-1}] : \qquad \begin{matrix} && \vdots &&\\ & \stackrel \swarrow \nearrow & s & \nwarrow &\\ x_0 & \leftrightarrows & \vdots & \leftarrow & x_1 \\ & \stackrel \nwarrow \searrow & s' & \swarrow &\\ && \vdots & \end{de la matriz} $$

lo que no se $U$-a nivel local pequeño como $\hom_{\mathsf C[\mathcal W^{-1}]}(x_1,x_0) \simeq S \notin U$.

Sin embargo, este ejemplo parece muy artificial y ad hoc. ¿Cuáles son los naturales ejemplos de cambio de tamaño de la localización ?

Answer 1

Aquí es un no ejemplo inventado. Deje $\mathbf{Site}$ ser la categoría cuyos objetos son pequeños Grothendieck sitios y cuyos morfismos son clases de isomorfismo de morfismos de sitios. (Una de morfismos $(\mathcal{C}, J) \to (\mathcal{D}, K)$ es un functor $\mathcal{D} \to \mathcal{C}$ que envía a $K$-que cubre a las familias a $J$-cubriendo las familias.) Deje $\mathbf{Topos}$ ser la categoría de Grothendieck toposes y isomorfismo clases geométrico de morfismos. No es entonces un functor $\mathbf{Sh} : \mathbf{Site} \to \mathbf{Topos}$ que envía un sitio de $(\mathcal{C}, J)$ a la gavilla topos $\mathbf{Sh} (\mathcal{C}, J)$. Es sabido que cada geométrica de morfismos entre dos Grothendieck toposes viene de una de morfismos de los sitios, por lo que el functor $\mathbf{Sh}$ es esencialmente surjective en morfismos.

Digamos que una de morfismos de sitios es una de equivalencia de Morita si el functor $\mathbf{Sh}$ invierte. Puedo reclamar la localización de $\mathbf{Site}$ con respecto a la clase $\mathcal{W}$ de Morita equivalencias no es localmente pequeño. No hay duda de que es una comparación functor $\mathbf{Site} [\mathcal{W}^{-1}] \to \mathbf{Topos}$, por la característica universal de la localización, y que debe ser esencialmente surjective en morfismos porque $\mathbf{Sh}$ es. Por otra parte, $\mathbf{Site} [\mathcal{W}^{-1}] \to \mathbf{Topos}$ es completa porque cualquiera de los dos sitios de la misma topos son Morita equivalente (por definición). Pero $\mathbf{Topos}$ no es localmente pequeño, por lo $\mathbf{Site} [\mathcal{W}^{-1}]$ no puede ser localmente pequeño.