Un problema de irreductibilidad.

Question

Aquí es un problema de uno de la universidad de Harvard quals pregunta de papel(primavera 2011 creo) que no pude averiguar por un largo tiempo.

Demostrar que para cualquier entero positivo $a$, el polinomio $f(x)=x^6+3ax^4+3x^3+3ax^2+1$ es irreductible.

He intentado utilizar el criterio de Eisenstein, pero no pude encontrar una adecuada transformación a$f$, de modo que Eisenstein se puede aplicar y yo no conozco a ningún otro criterio distinto de este( Si se necesita algún otro criterio para resolver esto, favor de mencionar).

Por favor comparta sus ideas/sugerencias para resolver esto.

Gracias.

Answer 1

Idea:

Si$f(x)= P(x)Q(x)$, con$P,Q$ monic, entonces en$Z_3[x]$ tienes

$P(x)Q(x)= x^6+1=(x^2+1)^3$.

$x^2+1$ es irreductible sobre$Z_3[x]$, por lo tanto, la única posibilidad (hasta el cambio de nombre) es$P(x) \equiv x^2+1 \mod 3$ y$Q(x) \equiv (x^2+1)^2 \mod 3$.

Creo que el problema debería seguir fácilmente desde aquí, exprese$P(x)=x^2+1+3P_1(x)$,$Q(X)=(X^2+1)^2+3Q_1(X)$, con$\deg(P_1) \leq 1, \deg(Q_1) \leq 3$ y vuelva a insertarlo en la primera ecuación ...

Answer 2

Creo que debería ser suficiente para considerar la reducción de la mod 2. Si $a$ es par, entonces el polinomio se reduce a $x^6+x^3+1$. Si $a$ es impar, entonces el polinomio se considera reduce a $x^6+x^4+x^3+x^2+1$. Claramente, ninguno de estos polinomios tienen factores constantes. Si ellos pueden ser reducidos a continuación, debe ser como un producto de una irreductible cuadrática y una irreductible cuarto grado, dos irreductible cúbicas, o como un producto de tres irreductible cuadráticas. Observe que en $\mathbb{Z}/(2)[x]$, el único irreductible cuadrática es $x^2+x+1$. Pero ni el polinomio tiene $x^2+x+1$ como un posible factor. Por lo tanto, si los dos polinomios son reducibles modulo 2, entonces deben ser un producto de dos irreductible cúbicas. Sólo hay dos irreductible cúbicas en $\mathbb{Z}/(2)[x]$: $x^3+x^2+1$ y $x^3+x+1$. Un rápido cálculo de la muestra a ser imposible.

Desde el polinomio es irreducible modulo 2 por cada $a$, el polinomio $x^6+3ax^4+3x^3+3ax^2+1$ es irreductible para cada $a$.

Answer 3

Aquí es lo que he intentado. Esto no abarca el caso de las cuadrática-tiempos-el cuarto grado.

En primer lugar, podemos usar la división sintética para determinar que no existen factores lineales. Por ejemplo, $f(-1) = 6a -1 = 0 \Rightarrow a \notin \mathbb{Z}^+$

Entonces yo consideraba $$f(x) = (x^3 + bx + c + 1)(x^3 -bx^2 - cx + 1)$$

La justificación de estos coeficientes es la ausencia de la quinta y de primer grado de los términos en $f$. Desde aquí se puede ver (si mis cálculos son correctos!) que $3a = -b^2$, imposible para nuestros valores de $a$.

No hay duda de que es una más teórica/menos fuerza bruta enfoque, pero pensé que esto era digno de mención.