Demostrar que .

Question

Deje $K$ ser la clausura algebraica de un campo finito $k$. Demostrar que $Gal(K/k) \cong \hat{\mathbb{Z}}$.

A partir de la definición en el libro, aquí es cómo $\hat{\mathbb{Z}}$ se define: Deje $D = Cr(\mathbb{Z}_{p} | \; p \; prime)$, vamos a $\delta: \mathbb{Z} \rightarrow D$ ser el mapa de tomar $x \in \mathbb{Z}$ a del vector con todas las coordenadas igual a $x$. A continuación, el grupo $D$ junto con el mapa de $\delta$ es el profinite finalización de $\mathbb{Z}$, denotado $\hat{\mathbb{Z}}$.

Parece ser que hay muchas fuentes en línea que citan este resultado como cierto, pero estoy teniendo problemas para encontrar cualquier lugar en que se muestra una prueba. Esta pregunta es de Profinite Grupos (Wilson), así que dudo que la solución es de todos los que directa. Alguien podría ofrecerme una solución o tal vez alguna idea sobre cómo abordar este problema?

Answer 1

Para cualquier campo $k$ y un fijo algebraicas cierre de $K$$k$, prácticamente por definición, $K$ es el inductivo (=directo) límite de su subextensions $L/k$ finito de grado. Por (infinito) de la teoría de Galois, $Gal(K/k)$ es, entonces, el proyectiva (=inversa) límite de sus subgrupos de índice finito. Si $k$ es un campo finito, para cualquier entero $n$, sabemos que $K$ admite un único subextension $L/k$ grado $n$, y esta extensión es cíclico. Por lo tanto $Gal(K/k)$ es el límite proyectivo de la $(Z/nZ, +)$, es decir,$(\hat Z, +)$ .

Answer 2

Por ejemplo, una prueba detallada da en notas de la Conferencia de James S. Milne de campos y teoría de Galois, ejemplo 7.16., página $97$. Los ingredientes son la canónica Frobenius elemento $\sigma:a\mapsto a^p$, la terminación profinito $\mathbb{Z}$ y el % de isomorfismo $\widehat{\mathbb{Z}}\rightarrow Gal(\overline{\mathbb{F}_p}/\mathbb{F}_p)$.