Acción de $S_4$ en $S_4/S_3$

Question

Dejemos que $G = S_4$ , $H = S_3$ , $X = G/H$ sea el conjunto de cosets derechos de $H$ , $x = (14)H$ y $G $ actúa sobre $X$ por conjugación. Calcula $\mathscr{O} (x)$ y $G_x$ (el estabilizador de $x$ ).

Tengo un problema en esta pregunta. Claramente, $\mathscr{O}(x) = \{(14)H, (24)H, (34)H, H \}$ y $G_x = 1$ Sin embargo, esto lleva a una contradicción, ya que $|G_x| = |G|/|\mathscr{O}(x) | = 24 / 4 = 6$ . Realmente no sé qué hay de malo en mi respuesta.

Gracias de antemano.

Answer 1

Primero asumo $H$ son permutaciones de $\{1, 2, 3\}$ y arreglos $4$ .

El subgrupo $H$ no es normal en $G$ por lo que la acción de conjugación de $G$ sobre sí mismo no desciende a una acción de conjugación de $G$ en $G/H$ . Por ejemplo, si conjugamos $H$ por $(1 \ 4)$ obtenemos la copia de $S_3 \subseteq S_4$ dado por permutaciones de $\{2, 3, 4\}$ . Pero este subgrupo no es un coset derecho de $H$ .

Si quieres una acción de $G$ en $G/H$ utilizar la multiplicación por la izquierda. O, si quieres que tu acción sea la conjugación podrías actuar sobre el conjunto de subgrupos, o incluso sobre el conjunto de subconjuntos de $G$ .