¿Qué tengo que hacer diferente al tomar el derivado de$2^{-x}$ en contra de$2^x$

Question

Así que para$2^x$ sé que el derivado sería

PS

¿Cuál sería la cosa o el paso que haría diferente para$$2^x \ln(2)$?

Estoy tratando de tomar el derivado de

PS

& Sigo recibiendo la respuesta incorrecta, creo que es porque no estoy seguro de cómo manejar el$2^{-x}$

Answer 1

La forma de hacer esto con la que estoy familiarizado es:

$2^{-x}= e^{-xln2}$, y luego encuentras$\frac {d}{dx} e^{-xln2}$ usando la regla de la cadena,

así que eso $\frac{d}{dt}e^{-tln2}=e^{tln2} \frac{d}{dt}(-tln2)$.

¿Puedes tomarlo desde allí?

EDITAR: La regla de la cadena junto con la regla de cociente aplicada aquí se reduce a:

$\frac {d}{dt} \frac {40}{1+2^{-t}}= \frac {0-40(\frac{d}{dt}(1+ 2^{-t})}{(1+2^{-t})^2}$, donde usamos$\frac {d}{dt}(40)=0$.

Answer 2

Creo que podría estar confundido sobre el derivado de$2^x$ - o ha expresado las cosas de manera extraña. En cualquier caso, el derivado de$2^x=\ln(2) 2^x $. Puede encontrar la derivada de$2^{-x}$ de dos maneras; o bien puede aplicar la regla de la cadena para obtener$-1\cdot\ln(2) 2^{-x}$, donde el término$-1$ proviene de$-x$. También puede cambiar$2^{-x}=\left(\frac{1}2\right)^x$ y obtener el derivado como$\ln\left(\frac{1}2\right)\left(\frac{1}2\right)^x$, que es equivalente.

Answer 3

Si tiene:$$2^{f(x)}$ $, puede usar la regla de la cadena para encontrar que:$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}2^{f(x)}=f'(x)\times {2^{f(x)}\ln(2)}$ $ como otros lo han hecho, puede mostrar esto por:$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}2^{f(x)}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^{\ln(2)\times f(x)}= f'(x)\times\ln(2)\times e^{\ln(2)\times f(x)}= f'(x)\times\ln(2)\times2^{f(x)}$ $ entonces si deja$f(x)=-x$ entonces tendrías$f'(x)=-1$ así que:$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}2^{-x}=-1\times2^{-x}\ln(2)=-2^{-x}\ln(2)$ $

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por lo tanto, solo necesita aplicar la regla del cociente:$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{40}{1+2^{-t}}=\frac{0\times(1+2^{-t})-(-2^{-t}\ln(2)\times40)}{(1+2^{-t})^2}=\frac{-(-2^{-t}\ln(2)\times40)}{(1+2^{-t})^2}=\frac{2^{-t}\ln(2)\times40}{(1+2^{-t})^2}$ $ para su solución de libros:$$\frac{2^{-t}\ln(2)\times40}{(1+2^{-t})^2}=\frac{2^{-t}\ln(2)\times2^2\times 10}{(1+2^{-t})^2}=\frac{2^{-t}\ln(2)\times2^3\times 5}{(1+2^{-t})^2}=\frac{5\times2^{3-t}\ln(2)}{(1+2^{-t})^2}$ $, que puede obtener a la respuesta de Wolfram Alpha por:$$\frac{5\times2^{3-t}\ln(2)}{(1+2^{-t})^2}=\frac{5\times2^{3-t}\ln(2)}{1+2\times2^{-t}+2^{-2t}}\times \frac{2^{2t}}{2^{2t}}=\frac{5\times2^{3+t}\ln(2)}{1+2\times2^{t}+2^{2t}}=\frac{5\times2^{3+t}\ln(2)}{(1+2^{t})^2}$ $

Answer 4

El derivado de$y_1 = 2^x$ es$y_1' = \ln 2 . 2^x$; si$y_2 = 2^{-x}$ entonces$y_2' = -\ln 2.2^{-x}$.

De ahí la derivada de

$$g(t) = \frac{40}{1 + 2^{-t}}$ $ es

PS

Answer 5

Primero de todos, el derivado de la $2^x = e^{(\ln 2) x}$$(\ln 2) e^{(\ln 2) x} = (\ln 2)2^x$, no $1 / ((\ln 2) 2^x)$ (que por cierto fue dado en una revisión anterior de la pregunta). Esto se deduce de la fórmula general

$\dfrac{de^{u(x)}}{dx} = e^{u(x)}\dfrac{du(x)}{dx} \tag{1}$

tomando $u(x) = (\ln 2) x$; también hemos usado la identidad $a = e^{\ln a}$, $a > 0$ para escribir $2^x= e^{(\ln 2) x}$. La derivada de $2^{-x}$ puede ser calculada de la misma manera, sino que simplemente se nota que $2^{-1} = e^{\ln 2^{-1}} = e^{-\ln 2}$ y establezca $u(x) = -(\ln 2)x$ obtener

$\dfrac{d2^{-x}}{dx} = \dfrac{de^{(-\ln 2)x}}{dx} = (-\ln 2)e^{(-\ln 2)x} = (-\ln 2) 2^{-x}. \tag{2}$

Como para

$\dfrac{40}{1 + 2^{-t}} = 40(1 + 2^{-t})^{-1}, \tag{3}$

simplemente aplicamos la regla de la cadena (que ya ha ocurrido en la fórmula (1)) un par de veces, la primera para obtener

$\dfrac{d}{dt}(40(1 + 2^{-t})^{-1}) = -40(1 + 2^{-t})^{-2}\dfrac{d2^{-t}}{dt}, \tag{4}$

a continuación, una vez más, a $d2^{-t}/dt$, que básicamente ya se ha hecho en (2):

$\dfrac{d}{dt}(40(1 + 2^{-t})^{-1}) = -40(1 + 2^{-t})^{-2}(-\ln 2)2^{-t} = \dfrac{40 (\ln 2)2^{-t}}{(1 + 2^{-t})^2} = \dfrac{40 (\ln 2)}{(2^{2t} + 2^t)^2}. \tag{5}$

Y eso es lo máximo que voy a tomar. No veo la ventaja a trasteo mucho con los poderes de $2$ y así sucesivamente, o por qué Steve Wolfram motor da una fórmula mejor!

Espero que esto ayude. Saludos!

y como siempre,

Fiat Lux!!!