Cojunto y Lagrange ' s theorom

Question

Supongamos que $G$ es un grupo finito de orden $n$ y es relativamente alto a $m$ $n$. Si $g$ $G$ y $g^m = e$, demostrar que $g=e$.

Sé que en un grupo finito un elevado a la orden de potencia de $G$ es la identidad. ¿Cómo acabar esto con?

Answer 1

Supongamos que hacia contradicción, supongamos que g no es igual a e. Esto significa que g^m=e lo que implica |(g)|=k para algunos k > 1 que divide a m. Por La grange del teorema, sabemos que k divide a n, entonces mcd(m,n)=k. Esto se contradice con la declaración de nuestra pregunta que n,m son primos relativos, por lo que nuestra hipótesis es falsa y g=e.

Answer 2

Sabes que si divide a $g^m =e$, entonces el orden de $g$ $m$. Pero de Lagrange, el orden de $g$ divide $n$ así. ¿Qué número entero divide $m$ y $n$, si son relativamente prima?

Answer 3

Answer 4

Un método es utilizar lo que ha dicho. $g^m=e$ y por su segunda declaración, $g^n=e$. Ahora por el lema de Bezout, existen enteros $x,y$ tal que $mx+ny=1$. Entonces considerar $$ g = g ^ {mx + ny} =(g^m) ^ x(g^n) ^ y = e ^ xe ^ y = e $$ % que $g=e$.

Uno podría también usar una prueba por contradicción-asumir $g\neq e$ (tan $m\neq 1$) y $g^m=e$. Luego por Teorema % de Lagrange $m\mid n$, tan $m$y $n$ no son relativamente privilegiadas, que es una contradicción.