Prueba sin el teorema del valor medio que continuamente parcialmente diferenciables implica differentiability

Question

Por simplicidad, consideremos el caso de $2$ factores. Deje $E_1,E_2,F$ ser espacios de Banach y $f:X\to F$ donde $X\subseteq E:=E_1\times E_2$ está abierto. Por primera derivada parcial, nos referimos a la derivaitve de $f(\cdot,e_2)$ cuando nos fix $e_2\in E_2$. En segundo lugar (o a otros) derivadas parciales se definen de forma análoga.

Estoy tratando de demostrar el siguiente teorema de H. Cartan del Cálculo Diferencial:

Esta es la prueba contenidas en el libro:

donde el valor medio teorema utilizado es este:

Mi pregunta: ¿se Puede evitar el uso del valor medio teorema? Creo demostrando $(3.7.2)$ no necesita el valor medio teorema. Aquí está mi prueba:

Que $f$ es diferenciable en a $x_0\in E$ con derivados $\partial f(x_0)$ es equivalente a decir que $$f(x)=f(x_0)+\partial f(x_0)(x-x_0)+r(x)\|x-x_0\|,$$ where $r:X\to F$ is continuous at $x_0$ with $r(x_0)=0$. Therefore, we have (again considering the case $n=2$ for simplicity) $$f(x_1,x_2)-f(a_1,x_2)-\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)(x_1-a_1)=\Big(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,x_2)-\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)\Big)(x_1-a_1)+r(x_1,x_2)\|x_1-a_1\|.$$ Since $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ and $r$ are continuous at $(a_1,a_2)$, we can choose $\delta>0$ such that, for all $\|x_1-a_1\|+\|x_2-a_2\|<\delta$ (using the $\|\!\cdot\!\|_1$ product norm), we have $\big\|\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,x_2)-\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)\big\|\leq\varepsilon/2$ (operator norm) and $\|r(x_1,x_2)\|\leq\varepsilon/2$, so $$\Big\|f(x_1,x_2)-f(a_1,x_2)-\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)(x_1-a_1)\Big\|\leq\varepsilon\|x_1-a_1\|.$$

Es mi prueba correcta? Si es así, ¿por qué el autor utilizando el valor medio teorema (que en realidad no simplificar la prueba en mis ojos)?

Answer 1

Que error se produce en el momento de la prueba donde se escribe "podemos elegir" $\epsilon > 0$ tal que....".

No eres libre de elegir $\epsilon$ como se podría desear.

La declaración debe demostrar en este punto es:

• Para todos los $\epsilon > 0$ existe $\eta > 0$ que si $\|x_1-a_1\| < \eta$ $$(*) \qquad \|f(x_1,x_2)-f(a_1,x_2)-\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)(x_1-a_1) \| < \epsilon \|x_1-a_1\| $$

Uno nunca se inicia un "para todos los $\epsilon > 0$" prueba diciendo: "elija $\epsilon$, de modo que...". Usted no tiene la libertad de elegir a $\epsilon$.

La mecánica de la prueba de esta afirmación es que haya dado un valor de $\epsilon>0$. Entonces usted debe encontrar un valor adecuado de $\eta > 0$, y utilizar para probar que si $\|x_1-a_1\| < \eta$, entonces la desigualdad de $(*)$ es cierto.

Echa un vistazo a lo que el valor medio teorema dice (I tenga en cuenta que usted no copiar todo el teorema en su post; se omite la conclusión). Verás lo útil que es en la realización de la mecánica de la prueba.