En primer lugar, $\mathbb{H}^n$ es una completa Riemann colector de la constante de la sección transversal de la curvatura de la $-1$.
En segundo lugar, para cada una de las $\kappa<1$ existe $\delta>0$ de manera tal que cada Riemann colector $M$ cuyas curvaturas seccionales son todos los $\le \kappa$ $\delta$hiperbólico; por definición, significa que cada triángulo geodésico $T \subset M$ $\delta$ delgada, lo que significa que de cada lado de la $T$ está contenida en el $\delta$ barrio de la unión de los otros dos lados de $T$.
Así que la principal relación entre el $\mathbb{H}^n$ $\delta$hiperbólico espacios es que estos últimos son generalizaciones de la antigua.
Aquí es quizás la característica más importante de $\mathbb{H}^n$ que generaliza a $\delta$hiperbólico espacios de $X$.
- El espacio de $X$ tiene un "ideal de límite" $\partial X$, que consta de asintótica clases de geodésica rayos. La métrica de la topología en $X$ se extiende a una topología en $\overline X = X \cup \partial X$ de una manera natural, en particular de la acción en la $X$ del grupo de isometrías de $X$ se extiende a una acción en $\overline X$. En el caso especial donde $\mathbb{H}^n$ está modelada por el abra de la unidad de pelota en $\mathbb{R}^n$ con la métrica de Poincaré, el espacio en el infinito se identifica con la unidad de la esfera.
La mayoría de las características que la lista no se extienden a general de Gromov hiperbólico espacios. La razón principal es que usted ha enumerado las propiedades o características que son más bien analítica en la naturaleza (como el garrote de la fórmula), o son muy homogéneas. El ideal de la generalización de $\mathbb{H}^n$ $\delta$hiperbólico espacios para la captura de la "gran escala" propiedades de $\mathbb{H}^n$, a costa de ignorar la "infinitesmal" propiedades del análisis y de la homogeneidad de las propiedades de los espacios hiperbólicos.
Añadido: breve esquema De la prueba de que $\mathbb{H}^n$ $\delta$hiperbólico, con $\delta=1$:
- El "peor caso" se produce cuando se deja que los tres vértices de un triángulo convergen tres "ideal" de los puntos sobre la esfera en el infinito, formando lo que se llama un "ideal triángulo".
- Todos los ideales triángulos en todas las dimensiones son isométrica uno al otro, entonces usted podría considerar un caso especial, el ideal triángulo con ieal vértices $0,1,\infty \in \partial \mathbb{H}^2$ en la mitad superior modelo de avión de $\mathbb{H}^2$. Ahora no es demasiado difícil de ver, el uso de la métrica de Riemann $ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}$ que el lado con el ideal de los extremos de $0,\infty$ está contenida en el $1$-barrio de la unión de los otros dos lados.
Usted puede obtener muchos más detalles sobre este tipo de cosas en un libro de texto de geometría hiperbólica como Ratcliffe.
