Me preguntaron esto en una entrevista hoy. ¿Preferirías intentar encestar 2/3 tiros libres o 4/6? ¿Por qué?
Razoné que si mi probabilidad de encestar un tiro individual era > 2/3, optaría por 4/6 porque me brindaba una mejor oportunidad de acercarme a la distribución a largo plazo.
La pregunta sobre "exactamente 4 de 6" vs "exactamente 2 de 3" no es muy interesante, porque P("acertar exactamente 2 de 3 lanzamientos") es siempre mejor, (a menos que p=0 o 1 - cuando la probabilidad es 0, en cuyo caso son iguales a 0).
La razón de probabilidades P(4 de 6)/P(2 de 3) es
$$\frac{{{6}\choose {4}} p^4 (1-p)^2}{{3\choose 2} p^2 (1-p)} = 5 p^2(1-p)\,.$$
Esto se maximiza en $p=2/3$, donde la razón alcanza 20/27 (32.9% de probabilidad para 4 de 6, 44.4% de probabilidad para 2 de 3).
La pregunta "al menos 4 de 6" vs "al menos 2 de 3" es un poco más interesante.
Allí, "al menos 4 de 6" gana si p>0.7831 (aproximadamente)
[Como señala whuber en los comentarios, este punto se puede resolver algebraicamente; es exactamente $\frac{2+\sqrt{34}}{10}$.]
Tienes razón; hay cierta ambigüedad. Sin embargo (¡a pesar de un comentario aclaratorio por parte del OP!) creo que la mayoría de las personas (incluidos los matemáticos) interpretarían 3/3 como incluido en el evento "haciendo 2/3" y 5/6 o 6/6 como "haciendo 4/6". Considera también que si una recompensa se asocia con hacer un número exacto, entonces una estrategia racional sería fallar todos los lanzamientos tomados después de que se alcanzó ese número, en cuyo caso la probabilidad de "exactamente" debería calcularse como la probabilidad de "igual o más que" de todos modos.
@whuber Ah, gracias, un error en mi código. Es en el punto donde pbinom(4,6,p)-pbinom(2,3,p) cruza 0... pero lo que necesito es pbinom(3,6,p)-pbinom(1,3,p). [Parece que he estado cometiendo más errores en los detalles de lo usual en los últimos días.] Lo corregiré.
+1 Al examinar la diferencia entre las probabilidades se obtiene la ecuación $0=(15 p^4 - 24 p^5 + 10 p^6)-(3 p^2 - 2 p^3)=(p-1)^2 p^2 (10 p^2-4p-3)$ para el punto de cruce. Tanto $0$ como $1$ son raíces dobles, como uno esperaría de los gráficos--haciendo que este polinomio sea fácil de factorizar--y la raíz positiva restante se encuentra con la fórmula cuadrática como $\left(2+\sqrt{34}\right)/10\approx 0.783095$. (Igualar la razón a la unidad conduce a la misma ecuación cuadrática).
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¿Tiene que ser exactamente 2 de 3 y 4 de 6 o estás diciendo al menos 2 de 3 y al menos 4 de 6?
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Exactamente, y cada toma es independiente de las demás.
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Por las razones que mencionaste, diría que prefieres 2/3 si eres un mal tirador (tu promedio es menor que 2/3) y 4/6 si eres un buen tirador (tu promedio es más alto que 2/3).
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Sí, para p<0.78, opta por el 2 de 3. Para más, el 4/6 es mejor. Tiene sentido intuitivo también: Muchos eventos improbables ocurriendo todos es altamente improbable. Entonces, si tu posibilidad es grande, ve por el 4/6 porque los eventos improbables que fallas cada vez son 4. Si tu posibilidad es pequeña, ve por el 2/3 porque los eventos improbables que aciertas son sólo 2.
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Por favor, modifica tu pregunta para reflejar tu aclaración en los comentarios.
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+1 a @CloseToC: $0.78 = \left(2+\sqrt{34}\right)/10$ es el punto en el que se cruzan las dos probabilidades de $3 p^2 - 2 p^3$ y $10 p^6-24 p^5+15 p^4$.
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Todos los demás parecen haber entendido el contexto - pero ¿lanzando/disparando qué/a quién?
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@Scortchi Presumiblemente baloncesto, ver es.wikipedia.org/wiki/Tiro_libre. Similar en concepto a los tiros libres en fútbol.
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@user1357015 golpear exactamente es lo mismo que al menos, ya que puedes perder intencionalmente el resto después de golpear tu objetivo.