$\sum_{m=1}^\infty \frac {2^{\widehat m}+2^{-\widehat m}}{2^{m}} =3$

Question

Para cualquier entero positivo $n$ , vamos a $\widehat n$ denotar el número entero más cercano a $\sqrt n$. Entonces, ¿cómo demostrar que $$\sum_{m=1}^\infty \frac {2^{\widehat m}+2^{-\widehat m}}{2^{m}} =3$$?

Answer 1

Deje $f(m)=m-\widehat m, g(m)=m+\widehat m$, luego \begin{equation} \sum_{m=1}^{\infty}{\frac{2^{\widehat m}+2^{-\widehat m}}{2^{m}}}=\sum_{m=1}^{\infty}{\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{m-\widehat m}+\left(\frac{1}{2}\right)^{m+\widehat m}\right)}=\sum_{m=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^{f(m)}}+\sum_{m=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^{g(m)}} \end{equation}

Tenga en cuenta que

\begin{equation} \widehat{m+1}-\widehat{m}= \begin{cases} 1 & \text{if} \, m=k^2+k, \, k \in \mathbb{Z}^+\\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} \end{equation}

Así

\begin{equation} f(m+1)-f(m)=1-(\widehat{m+1}-\widehat{m})= \begin{cases} 0 & \text{if} \, m=k^2+k, \, k \in \mathbb{Z}^+\\ 1 & \text{otherwise} \end{casos} \end{equation}

\begin{equation} g(m+1)-g(m)=1+(\widehat{m+1}-\widehat{m})= \begin{cases} 2 & \text{if} \, m=k^2+k, \, k \in \mathbb{Z}^+\\ 1 & \text{otherwise} \end{casos} \end{equation}

También se $f(1)=0, g(1)=2$. Por lo tanto, la secuencia de $f(m)$ $f(k^2+k)=k^2, k \geq 1$ se producen dos veces, y todas las demás enteros no negativos que ocurren una vez, mientras que la secuencia de $g(m)$ omite $g(k^2+k)+1=(k+1)^2, k \geq 1$, y contiene a todas las demás enteros positivos $ \geq 2$ exactamente una vez.

Así

\begin{align} & \sum_{m=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^{f(m)}}+\sum_{m=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^{g(m)}} \\ & =\left(\sum_{m=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^m}+\sum_{m=k^2, k \geq 1}{\left(\frac{1}{2}\right)^m}\right)+\left(\sum_{m=2}^{\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^m}-\sum_{m=k^2, k \geq 2}{\left(\frac{1}{2}\right)^m}\right) \\ & =\left(\frac{1}{2}\right)^0+2\sum_{m=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^m} \\ &=3 \end{align}