¿Por qué no coordenadas globales, siempre existe un colector?

Question

Deje $M$ ser un colector y $(\phi,U)$ un parche. Entonces $\phi(P)=\bar{x}=\begin{bmatrix} x^1\\ x^2\\ \vdots\\ x^n \end{bmatrix}$ for each $P$ in $U$. But each $P$ in $M$ is in some patch, so this representation must hold for each $P$ in $M$. If $M$ is to represent physical space (or spacetime), then each $P$ in $M$ should be represented by a unique $n$-tuple in $R^n$. All differential geometry texts that I have seen go to great lengths at the outset to claim that, in general, there is no global coordinate system for $M$, pero que lo mejor que uno puede hacer es encontrar las coordenadas locales.

Concedido que la búsqueda de un sistema de coordenadas global poniendo los parches juntos puede ser difícil, a mí me parece que debe ser posible si la geometría diferencial es ser útil en las aplicaciones.

Podría alguien enderezar mí en este asunto? ¿Por qué no simplemente postular un sistema de coordenadas global y dejar la de coordinar la asignación de $M$ $R^n$y el resultado de la métrica tensor de describir la geometría?

P. S. Por $R^n$ me refiero al conjunto de todos los $n$-tuplas con las definiciones usuales de suma y escalar múltiples, no Euclídea $n$-espacio.

Answer 1

Echemos un vistazo a su última línea:

¿Por qué no simplemente postular un sistema de coordenadas global y dejar la de coordinar la asignación de $M$ $\mathbb{R}^n$y el resultado de la métrica tensor de describir la geometría? P. S. Por Rn me refiero al conjunto de todas las n-tuplas con las definiciones usuales de suma y escalar múltiples, no Euclídeo n-espacio.

$\mathbb{R}^n$ tiene un particular, simple y bastante aburrido global de la topología general de colectores tienen muchas diferentes, mucho más ricas que las topologías. Por lo que el co-coordinar la asignación que usted propone no puede ser bijective mientras que la "captura" de este general, la topología global. Así que ahora estamos needfully hablando de una asignación global del colector a un subconjunto de a $\mathbb{R}^N$, lo cual subconjunto tiene la misma topología como la de $M$ (estoy asumiendo que usted todavía desea que la correspondencia inyectiva - que es el punto de coordenadas después de todo, para ser "etiquetas" - así que la única manera de romper bijectivity es con un no-surjective mapa).

Si usted está dispuesto a vivir con esto, entonces su enfoque propuesto, de hecho pueden trabajar en la teoría, a través de la Whitney Incrustación de teorema y, en particular, para las de Riemann colectores, Nash Incrustación Teorema. La última muestra que cada Riemann colector puede ser isométricamente (es decir, la preservación de la métrica tensor) incrustado en una de las dimensiones superiores espacio Euclidiano. O espacio de Minkowsky, si el colector es de pseudo-Riemann (como con los colectores que son soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein).

El problema con este enfoque es que añade una enorme cantidad de unneedful la complejidad de las matemáticas, y, desde las dimensiones superiores son casi siempre no físico(por ejemplo, al mejor de nuestro conocimiento, el universo no está incrustado en una de las dimensiones superiores espacio plano), hay un gran número de no físico grados de libertad. La palabra clave en estos teoremas es de dimensiones superiores: el teorema de Whitney prueba muestra que usted podría necesitar tanto como el doble de las dimensiones de su colector para obtener la dimensión de la incrustación de objetos en el espacio Euclidiano. El teorema de Nash, la más útil para la presente discusión, es mucho "peor". Se supone que, si $m$ es la dimensión original de su colector, a continuación, la incrustación de objetos en el espacio Euclidiano necesite para tener una dimensión de hasta el $m\,(3 m+11)/2$ si el colector colector compacto, o $m\,(m+1)\,(3m+11)\,/\,2$ si noncompact.

Un interesante dato histórico es que, antes de la década de 1930, la más difundida noción de un colector fue como un subconjunto de un espacio dimensional superior, una hipersuperficie definido por algunos de la restricción de la ecuación de la forma $F(X)=0$ donde $X$ es la distancia Euclídea coordenadas. Por ejemplo, es natural pensar de una 2-esfera de esta manera como el conjunto de puntos definidos por $X\cdot X = r^2$$\mathbb{R}^3$. En aproximadamente en este tiempo, sin embargo, la más simple, pero más sutil, la noción moderna de un colector como una colección de parches de cada localmente como $\mathbb{R}^N$ comenzó a echar raíces. El punto principal de la Whitney y Nash teoremas es entonces la prueba de que estas dos nociones son, lógicamente, el mismo y que nada se pierde por tomar la más simple, moderno parche-y-enfoque local.

Answer 2

Primero de todos, el tensor métrico es una pieza más de la estructura se coloca sobre una superficie suave colector para medir longitudes y ángulos. La métrica es, de hecho, no presente en todas las aplicaciones de la Geometría Diferencial de la Física (ver, por ejemplo, la Mecánica de Lagrange). En ese caso, es importante saber también cómo lidiar con los colectores sin métrica de los tensores.

Ahora, acerca de los sistemas de coordenadas, el punto es que, de hecho, generalmente los colectores requieren más de uno para ser cubiertos. Tomar las dos de la esfera $S^2$ por ejemplo, se necesitan al menos dos proyecciones estereográficas para cubrirlo todo. La idea, sin embargo no es la pieza de dos sistemas de coordenadas para obtener un mundial.

La idea es que, dado un punto, alrededor de ella hay algún sistema de coordenadas que funciona, y si usted tiene alguna superposición de uno, usted puede estar seguro de que los resultados y las definiciones no dependen del sistema de coordenadas que utiliza. Uno de los más fácilmente parecer ejemplo es cartesianas y esféricas en coordenadas en $\mathbb{R}^3$: usted puede usar cualquiera de ellos.

Si $(x,U)$ $(y,V)$ son dos sistemas de coordenadas, en el solapamiento $U\cap V$, si usted asegurarse de que los resultados de la independencia de pan en el sistema de coordenadas se puede pensar en ellos como algo intrínseco a$M$, y sin embargo el uso de coordenadas para llevar a abajo cálculos.

No se puede asumir que sólo hay un sistema de coordenadas, porque si usted mira los ejemplos que encontrar los objetos que, por cierto, que desee considerar como colectores de que no puede ser cubierto por un solo sistema de coordenadas.

Para aclarar esos puntos te recomiendo que eche un vistazo en estos dos libros

1. La moderna Geometría Diferencial para los Físicos - C. J. Isham
2. Una Completa Introducción a la Geometría Diferencial Vol. 1 - Michael Spivak

Libro 2 es más técnico y es para los matemáticos, pero es muy bueno. Te recomiendo que primero mira a 1 y, a continuación, mirar algunas cosas en 2 para ver mas detallada de las construcciones.

Edit: Un contraejemplo podría ayudarle a salir, así que me decidí a dar uno. Si $M$ es un buen colector y si $(x,U)$ es un sistema de coordenadas, a continuación, $x : U\subset M\to \mathbb{R}^n$ es un homeomorphism. Si existe un sistema de coordenadas global $(x,M)$ $M$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^n$ sí. Esto es problemático porque muchos colectores de uno de los encuentros (no sólo en las Matemáticas, pero en la Física así) tienen más complicado de la topología.

Vamos a demostrar que la esfera se $S^2$ no tiene un sistema de coordenadas global.

1. $S^2$ es compacto: en verdad, $S^2$ está dotado de la topología de subespacio y debido a eso, es suficiente para mostrar $S^2$ considerado como un subconjunto de a $\mathbb{R}^3$ es cerrado y acotado. Delimitada es fácil, si $p\in S^2$$|p|=1$, por lo tanto $|p|< 2$, de modo que $S^2\subset B(0, 2)$ donde $B(a,r)$ es la bola centrada en $a$ radio $r$. Se cierra también es fácil: $S^2 = \{(a,b,c)\in \mathbb{R}^3 : a^2+b^2+c^2 = 1\}$, por lo que si ponemos en $f : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$$f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2$$S^2 = f^{-1}(1)$, pero $f$ es continua y $\{1\}$ es un conjunto cerrado, de modo que $S^2$ es cerrado. Desde $S^2$ es cerrado y acotado, $S^2$ es compacto.

2. Supongamos ahora que $S^2$ tiene un sistema de coordenadas global $(x,S^2)$ $x: S^2\to \mathbb{R}^2$ es un homeomorphism, pero desde $S^2$ es compacto, entonces $\mathbb{R}^2$ es compacto, lo cual es evidentemente falso. Así que nos vemos obligados a concluir $S^2$ no tiene sistema de coordenadas global.

Por lo que su procedimiento da un $n$-tupla de números para cada punto de la variedad, pero no respecto a la estructura topológica. Si suponemos un sistema de coordenadas global para la esfera, se obtiene un absurdo a menos que usted acepte coordenadas que no son continuos y los que no son realmente interesantes.

Ahora, con respecto a la métrica tensor: voy a decir una vez más, la métrica no es algo que deducir a partir de las coordenadas. La métrica es algo que se postulan. En el GR, en particular, es la solución a las Ecuaciones de Einstein. La fórmula que usted dice acerca de que es sólo una manera de relacionarse coordinar las representaciones del tensor métrico en diferentes sistemas de coordenadas, no es una manera de deducir de coordenadas. Por ejemplo, si $M = \{(a,b)\in \mathbb{R}^2 : b > 0\}$ y si el uso de coordenadas cartesianas $(x,y)$ puede definir $g$ en las coordenadas por

$$g = \dfrac{dx\otimes dx + dy\otimes dy}{y^2}$$

Esta es la de coordinar la representación de $g$ en este sistema de coordenadas. Si seleccionas cualquiera de las otras coordenadas, $g$ va a transformar su representación de acuerdo a la fórmula que le dio. También, a ver que me postuló la métrica, en lugar de la deducción.