Es el cuadrado de la raíz cuadrada siempre no negativo? ($\sqrt{x}^2 = |x|?$)

Question

Sé que $\sqrt{x^2} = |x|.$

Pero no $\sqrt{x}^2 = |x|?$

Parece como debe ser, ya $$\sqrt{x}^2 = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$$ y $\sqrt{x}$ es no negativo, de modo que su producto debe ser no negativo.

Pero no he visto una regla como esta, así que supongo que no es el caso, y me preguntaba por qué.

Answer 1

Estoy asumiendo que estamos tratando con números reales sólo aquí (no números complejos). A continuación, la declaración de $\sqrt{x}^2=|x|$ es cierto... pero no necesitamos una "regla" como este, ya que podemos hacerlo aún mejor. La expresión $\sqrt{x}$ está bien definida sobre los números reales sólo si $x\ge0$, y por lo tanto $\sqrt{x}^2=x$ — no tenemos el valor absoluto aquí porque $x$ ya es no negativo.

EDIT: En otras palabras, la propiedad $\sqrt{x}^2=x$ es verdadera cuando ambas partes (especialmente en el lado izquierdo) están bien definidas. Pero no es cierto lo contrario; en particular, no se aplica al $x$ es negativo. Y usando el valor absoluto en el lado derecho no sería de ayuda con eso.

Answer 2

$f(x)=(\sqrt x)^2$ no es la misma función que el $g(x)=|x|$.

Ambos tienen el mismo rango $[0,+\infty[$ pero sus dominios son diferentes: $f$ tiene el dominio de la no-números negativos, mientras que $g$ tiene todos los reales como dominio.