Propiedad de Arquímedes y los números reales

Question

Tengo pocas confusiones:

a) ¿Qué es exactamente el de Arquímedes de la Propiedad. ¿Qué infinitesimal y números infinitos no existen en Archimedian ordenó a los campos de decir? No son el 0 y el infinito dichos números?

b) ¿cuáles son las surrealista números? ¿Tienen algo que ver con la ampliación de los números reales? Me refiero a los números reales y positivos y negativos infinito. Rudin introduce extendido de los números reales con estos dos números adicionales. Qué significa en el campo de los reales, lo infinito significa indefinido y en la extendida, infinito significa definido?

Esto no significa de extendido de los números reales no son Archimedian ?

Gracias.

Answer 1

La Arquímedes Propiedad de $\mathbb{R}$ viene en dos visualmente diferentes, pero matemáticamente equivalente versiones:

Versión 1: $\mathbb{N}$ no está delimitado por encima de en $\mathbb{R}$.

Este essentialy significa que no hay infinitos elementos en la recta real.

Versión 2: $$\forall \epsilon>0\ \exists n\in \mathbb{N}:\frac1n<\epsilon$$ Básicamente, esto significa que no son infinitesimalmente pequeños elementos en la línea real, no importa cuán pequeño $\epsilon$ obtiene siempre vamos a ser capaces de encontrar una aún menor número real positivo de la forma $\frac1n$.

Tenga en cuenta que $0$ no es infinitesimalmente pequeño, ya que no es positivo (recuerde que tomamos $\epsilon>0$) y $\infty$ no pertenece en la recta real. El extended real de la línea de $\overline{\mathbb{R}}$ es, de hecho, no Arquimedianos, no sólo porque tiene infinitos elementos, sino porque no es un campo de batalla! ($+\infty$ no tiene inversa elemento, por ejemplo).

Puede que desee tomar nota de que la Arquímedes Propiedad de $\mathbb{R}$ es una de las consecuencias más importantes de su integridad (Menos el límite Superior de la Propiedad). En particular, es esencial demostrar que el $a_n=\frac1n$ converge a $0$, primaria, pero fundumental hecho.

La noción de Arquímedes de la propiedad puede ser fácilmente generalizado a pedido de los campos, de ahí el nombre de Arquímedes Campos.

Ahora, surrealista números no son exactamente $\pm \infty$ y sugiero que leas esta entrada de la Wikipedia. También puede ser que desee para leer la página de Wikipedia para No estándar de Análisis. En el análisis no estándar, un campo de extensión de la $\mathbb{R}^*$ se define con elementos infinitesimales! (por supuesto que no Arquimedianos Campo, pero lo suficientemente interesante como para estudiar)

Answer 2

Similar a las otras respuestas. El Arquímedes de la propiedad para una ordenada campo $F$ estados: si $x,y>0$, entonces no es$n \in \mathbb N$, de modo que $$ x+x+\dots+x \ge y $$ donde hemos añadido $n$ términos de igual a $x$.

Consecuencias: no Hay infinitos elementos $u \in F$, es decir, no es $u$, de modo que $1+1+\dots+1 \lt u$ ($n$ términos) para todos los $n$.

No hay infinitesimal elementos $v \in F$, es decir, no es $v$, de modo que $v>0$ $v+v+\dots+v < 1$ ($n$ términos) para todos los $n$.

No hay ningún número real llamado $\infty$, por lo que nos dicen los números reales que satisfacen la propiedad de Arquímedes. El extendido "números reales" no forman un campo, pero puede ser útil para ciertos cálculos en el análisis. En lugar de decir $\infty$ es definido o indefinido, tal vez es mejor decir si $\infty$ es un elemento del conjunto que se está hablando.

El surrealista números No se hace de forma ordenada Campo, pero ha infinito y lo infinitesimal elementos, por lo que el Archimedian propiedad falla en No.

Answer 3

La propiedad de Arquímedes afirma que si $x$ $y$ son números positivos, hay algunos entero $n$, de modo que $y < nx$. Esta es una propiedad de los números reales de campo. Se puede demostrar que cualquier Arquímedes ordenó completar los campos es isomorfo a los reales.

En un orden de campo en el que la propiedad de Arquímedes no se aplica, hay números de $\epsilon > 0$, de modo que $n\epsilon$ finalmente no exceda de cada elemento en el campo. Estos son los llamados infinitesimals.

El extendido de los números reales no son un campo. La Arquímedes propiedad se aplica específicamente a los reales.

Los campos con infinitesimals son estudiadas en la no-estándar de análisis. Consulte este artículo de la Wikipedia.