Puede la ecuación de Schrödinger se define observables de otra cantidad?

Question

Hamilton, de ser un hermitian operador, es un observable para la energía. Me pregunto si la ecuación de Schrödinger se puede definir para cualquier $K$, también un hermitian operador, pero de un observable para otra cantidad, es decir,

$$\dot{\Psi}=-\frac{i}{\hbar}K\Psi.$$

Answer 1

Usted puede resolver la ecuación si quieres, pero la solución no necesariamente significa nada. El Hamiltoniano está directamente ligada a la evolución en el tiempo, incluso en la mecánica clásica, por la ecuación $$\frac{df}{dt} = \{H, f\}$$ donde el lado derecho es el corchete de Poisson. Incluso en la mecánica de Lagrange, Hamilton aparece como la conserva de la cantidad de tiempo simetría de traslación. Y en especial de la relatividad de einstein, el Hamiltoniano tiene que estar ligado a tiempo si el impulso está vinculado al espacio.

El punto es, el vínculo entre Hamiltonianos y el tiempo es muy profunda, por lo que no está claro cuál es su alternativa de la ecuación de Schrödinger significaría. Si había realmente una función de onda que satisface la ecuación, a continuación, $K$ sería igual a la de Hamilton, y no tendría sentido llamarlo otra cosa.

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Sin embargo, si no desea centrarse en la evolución en el tiempo, en su lugar, podríamos reemplazar $t$ con un parámetro formal $\alpha$ y definir $$\frac{d}{d\alpha} \psi = - \frac{i}{\hbar} K \psi.$$ Esta ecuación tiene sentido para general $K$, y sovling puede contar un poco sobre el significado físico de $K$. Por ejemplo, si usted eligió $K$ a ser el impulso, se obtendría $$\psi(x, \alpha) = \psi(x - \alpha).$$ Es decir, la transformación generada por el impulso es sólo espacial de la traducción, como usted sabe, desde la mecánica clásica. Si cambia a Heisenberg imagen y hacer la misma cosa, el resultado es directamente análoga a cómo la generación de funciones (aquí, $K$) corresponden a las de un parámetro familias de transformaciones canónicas en la mecánica clásica.