Deje $D$ $N \times N$ doblemente estocástica de la matriz, $x$ $N$ dimensiones del vector.
¿Cuál es la relación entre el$\Vert Dx \Vert_2$$\Vert x \Vert_2$?
Además si $\Vert x \Vert_2=1$, lo que puedo decir acerca de $\Vert Dx \Vert_2$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es cierto que una doblemente estocástico matriz $D$ ha operador de la norma 1. Pero eso no es debido a sus valores propios, debido a que $\|P\|=1$ es falso en general estocástico matriz $P$.
Más bien, desde el Birkhoff–teorema de von Neumann sabemos que $D$ es una combinación convexa de permutación (una norma) de matrices, y, por tanto,$\|D\|\leq 1$.
Alternativamente, si $D$ es doblemente estocástico, a continuación, $D^* D$ es estocástico y por lo tanto sus autovalores son delimitadas por uno en el módulo. Por lo tanto, $\|D\|=1$.
