¿Puede redefinirse el espaciotiempo de Minkowski como una variedad riemanniana no plana?

Question

El espacio-tiempo de Minkowski se define en términos de una colector plano pseudo-riemanniano. Me he preguntado si se puede redefinir como colector riamanniano y, en ese caso, qué tipo de curvatura aparecería.

Formalmente:

Sea M una variedad semi-riemanniana de dimensión 4, correspondiente al espacio de Minkowski, y sea g el tensor métrico (no positivo definido), T el tensor de curvatura de Riemann y P un punto genérico de M.

Pregunta 1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a. en cada P existe un sistema de coordenadas para el que la métrica g se hace riemanniana (definida positiva) en una bola de radio R no infinitesimal centrada en P

b. existe un sistema de coordenadas para el que g es riemanniano (positivamente definido) en todos los P de M

Comentario: en palabras, ¿podemos, con un cambio de coordenadas, deshacernos de la semirrubiosidad, ya sea en una región finita o globalmente?

Si este es el caso, ¿cómo lo pagamos en términos de curvatura? Esta es la siguiente pregunta:

Pregunta 2

c. si lo anterior a) es cierto, ¿es cierto que T no puede ser nulo en toda la bola? ¿Y qué tipo de curvatura "muestra" T?

d. si el anterior b) es cierto ¿es cierto que T no puede ser nulo en toda la bola? ¿Y qué tipo de curvatura "muestra" T?

Muchas gracias

Answer 1

Interpretamos la pregunta de la OP (v3) como una pregunta esencialmente

_¿Puede un Colector lorentziano (con Firma de Minkowski ) por transformaciones de coordenadas sea redefinido como Colector riemanniano (con firma euclidiana)?_

La respuesta es No desde el firma métrica de un colector pseudo-riemanniano es invariable bajo transformaciones de coordenadas generales. Esto se deduce, por ejemplo, de Ley de inercia de Sylvester . Recordemos que el tensor métrico en cualquier sistema de coordenadas es una matriz simétrica real, y por tanto diagonalizable.

Answer 2

Como mencionó Qmechanic, la respuesta a sus preguntas es no.

Sin embargo, asumiendo que el espacio-tiempo está orientado, tenemos lo siguiente:

Para cualquier métrica pseudo-riemanniana $g$ existe una forma única normalizada similar al tiempo $h^0$ y una métrica riemanniana $g^R$ para que $$ g = 2h^0\otimes h^0 - g^R $$

Esto da lugar a una topología localmente euclidiana compatible con la topología del colector.