Multivariable límite con coordenadas polares

Question

Coordenadas polares no revelan el comportamiento de $f(x,y)$ a la hora de estudiar

$$ \lim_{x^2 + y^2 \to \infty} \frac {xy}{e^{x^2y^2}} $$

En coordenadas polares tenemos

$$ \lim_{r^2 \to \infty} \frac 12 \frac { r^2 \sin (2 \varphi ) }{ e^{ \frac 14 r^4 \sin^2 (2\varphi) } } $$

que va a cero, independientemente de $\varphi$. Sin embargo, dejando $y = \frac 1x$, podemos ver claramente que el límite no existe. ¿Por qué no las coordenadas polares de trabajar y de qué otra manera que dejando $y = \frac 1x$ podemos demostrar que no existe?

Answer 1

Pero la cuestión es ¿por qué coordenadas polares pueden conducir a error. De hecho, esta es la repetición de un malentendido. Para explicarlo me dirijo a los límites al $(x,y)\to(0,0)$ (lo mismo hasta una inversión). La condición

para todos los $\theta$ existe $\lim_{\rho\to0}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$ y no depende de la $\theta$,

sólo dice que todos los límites a lo largo de las líneas a través del origen existen y coinciden. Esto no es suficiente para que el límite exista, no podría ser diferente a lo largo de los límites de paraboles, por ejemplo (hipérbolas en un comentario anterior). Lo que es equivalente a la existencia de un límite, decir $L$, es

para todos los $\varepsilon>0$ hay $\delta>0$ que si $\ 0<\rho<\delta$,
a continuación, para todos los $0\le\theta<2\pi$ tenemos $\ |f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)-L|<\varepsilon.$

En otras palabras, lo que debe ser independiente de $\theta$ es la tasa de convergencia $\delta$, además el límite de $l$.

Answer 2

Considere los dos hipérbolas $$\gamma_\pm:\qquad y=\pm{1\over x}\quad(x>0)\ .$$ Al$(x,y)\in\gamma_+$$f(x,y)={1\over e}$, y al$(x,y)\in\gamma_-$$f(x,y)=-{1\over e}$. Ya que ambos hipérbolas se extiende hasta el infinito hay son puntos de $(x,y)$ $x^2+y^2$ arbitrariamente grandes y $f(x,y)={1\over e}$, y existen otros puntos de con $f(x,y)=-{1\over e}$. De ello se desprende que la prevista límite no existe.

Answer 3

Idea: puedes estudiar el auxiliar de la función $z\mapsto z/\exp z^2$. Obviamente, $z=xy$.

EDIT: hacer de los límites en los subconjuntos $x=0$ (o $y=0$ o $x=y$) y $y={1\over\sqrt2 \,x}.$