$1+2\sqrt3$ No es un número racional

Question

¿Cómo puedo probar $1+2\sqrt 3$ no es que un número racional que $\sqrt 3$ no es un racional?

¿Prueba directa es la forma más fácil? Principiante total aquí, agradecería cualquier idea.

Answer 1

Decir $1 + 2 \sqrt{3} $ es racional por la contradicción. Así que tenemos

$$ 1 + 2 \sqrt{3} = \frac{p}{q} $$

$p,q \in \mathbb{Z}$. Nota $1$ podemos pasar al otro lado para obtener

$$ 2 \sqrt{3} = \frac{p}{q} - 1 = \frac{p-q}{q}$$

Ahora, divida por $2$ para obtener

$$ \sqrt{3} = \frac{p-q}{2q} $$

Pero esto es un número racional. Por lo tanto, $\sqrt{3} \in \mathbb{Q}$. Y hemos llegado a una contradicción ya que $\sqrt{3}$ no es racional.

Answer 2

A partir de la pregunta que usted hizo asumo que va a comenzar sus estudios en matemáticas, por lo que además de Willie Rosario de la respuesta que usted tendrá que probar que $\sqrt{3}$ es irracional, y que es cómo hacerlo:

Suponga $\sqrt{3} \in \mathbb{Q}$. A continuación, $\sqrt{3}=p/q$ donde $\gcd\{p,q\}=1$ (de hecho, si esto no era cierto, sólo podría simplificar la fracción). Esto significa que si $$ p=p_1p_2\ldots p_n, \quad q=q_1q_2\ldots q_m $$ son las descomposiciones de $p,q$ en factores primos, a continuación, $p_j\neq q_k$ por cada $j,k$, ya que el $\gcd\{p,q\}=1$. Pero ahora, $$ 3=\frac{p^2}{p^2} $$ significa que $q^2$ divide $p^2$, lo cual es imposible ya que $$ p^2=p_1^2p_2^2\ldots p_n^2, \quad q^2=q_1^2q_2^2\ldots q_m^2, $$ y sabemos que $p_j\neq q_k$ todos los $j\neq k$ (el hecho de que $p^2$ divide $q^2$ implica que no existe $j,k$ tal que $p_j=q_k$). Así, llegamos a una contradicción, y llegamos a la conclusión de que $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$.

Answer 3

$x = 1 + 2\sqrt{3} \Rightarrow (x-1)^2 = 12 \Rightarrow x^2-2x-11 = 0$. No utilizando la prueba de la raíz racional, hay ninguna raíz racional, por lo tanto, la conclusión...

Answer 4

Si es racional entonces $1+2 \sqrt{3} = { p \over q}$ y así $\sqrt{3} = {1 \over 2} ({ p \over q} -1)$, que significaría que $\sqrt{3}$ es racional.

Answer 5

$\,r = 1+2\sqrt{3}\,\Rightarrow\, (r-1)^2 = 12.\,$ Por la Prueba de la raíz racional, si lo $\,r\,$ es racional entonces es un número entero. Por lo tanto $\,n = r-1\,$ es un número entero y $\,n^2 = 12,\,$ contra $\, 3^2 < 12 < 4^2,\,$ $\,x^2\,$ está aumentando (o % contra $\,12\,$no es un cuadrado mod $5)$