El ideal generado por un subconjunto de un anillo.

Question

Nuestros apuntes del curso definen que el ideal generado por un conjunto $A$ es la intersección de todos los superconjuntos de $A$ que son en sí mismos ideales. Las notas continúan demostrando el siguiente teorema.

Teorema. Dejemos que $R$ denota un anillo (conmutativo, unital), y supongamos que $A \subseteq R$ . Entonces el ideal generado por $A$ es igual a $\{a_1 r_1 + \cdots + a_n r_n \,|\, n \in \mathbb{N}, a_i \in A, r_i \in R\}.$

El significado de este teorema no me queda claro, sobre todo teniendo en cuenta que $A$ no se asume como finito en las premisas, pero el conjunto parece estar definido de forma que se asume la existencia de una biyección $a : \{1,\cdots,n\} \rightarrow A$ .

¿Cuál es el enunciado preciso del teorema al que trata de llegar el teorema anterior?

Answer 1

Dice que el ideal generado por $A$ se compone precisamente de $R$ -combinaciones lineales de elementos del conjunto $A$ - en ninguna parte dice que $A$ es finito, sino que estos combinaciones cada uno implica un número finito de cosas de $A$ (no se puede sumar un número infinito de cosas en un anillo, al menos sin una noción de límites y topología). En la notación del constructor de conjuntos, $n$ (que es el número de cosas que se suman en la expresión $a_1r_1+\cdots+a_nr_n$ ) puede variar a lo largo de $\bf N$ .

Answer 2

Dice que el ideal generado por $A$ es la colección de todas las "combinaciones lineales" (finitas) de elementos de $A$ .

No hay ninguna suposición incorporada de que $A$ tiene un número finito de elementos, ya que $n$ es variable.

Pensemos en cómo sería una prueba. Ciertamente, cada elemento $a$ de $A$ puede expresarse de esta forma, ya que es igual a $a\cdot 1$ . Así que nuestro conjunto de "combinaciones lineales" contiene $a$ .

Y ciertamente cualquier ideal que contenga todos los elementos de $A$ debe contener todas las combinaciones lineales.

Así que queda por comprobar que la colección de combinaciones lineales es un ideal. La verificación es sólo una cuestión de comprobar las propiedades. El cierre bajo la multiplicación por elementos de $r$ es evidente. También tenemos que comprobar que las combinaciones lineales son un subring de $R$ .

Answer 3

Elige un valor no nulo $x\in A$ para un campo infinito $K$ con un álgebra $A$ . Entonces incluso el conjunto $\{\lambda x\mid \lambda \in K\}$ ¡es infinito! Esto debería convencerte de que, incluso con un generador, puede haber infinitos elementos diferentes formados.

El punto de ese teorema es: ciertamente un ideal que contiene esos $n$ los elementos deben contener sus combinaciones lineales, y a la inversa, ese conjunto de combinaciones lineales forma un ideal. Por lo tanto, tiene sentido argumentar que es el ideal más pequeño que contiene esos $n$ ¡elementos!