Un paseo en el tablero de ajedrez con las condiciones!

Question

Un 16 paso de ruta es ir desde (-4,-4) a (4,4) con cada paso que el aumento en la coordenada x o la coordenada y por 1. Cuántas de estas rutas de estancia en el exterior o en el límite de la plaza de la $-3<x<3,\ -3<y<3$ a cada paso?

(De fondo) estoy un grado 12 y sé acerca de puntos y guiones y triángulo de Pascal.

Answer 1

Vamos a hacer cuatro casos, se basan en los dos primeros pasos en nuestro camino:

RR: Para los próximos seis pasos, nos permite tomar sólo uno U paso, si la consideramos en absoluto. Si tomamos, entonces hay $\binom{6}{1}$ formas para los seis pasos y $\binom{8}{1}$ formas para los próximos ocho pasos. Si no la tomamos, sólo hay una manera de elegir a los seis pasos (todos Rs) y, a continuación, sólo una manera de elegir a los próximos ocho (todos Nosotros). Esto da un total de $6\cdot 8 + 1\cdot 1 = 49$ formas para este caso.

UU: Ya que este caso es simétrica a la del caso anterior, el argumento y el número total de formas son las mismas, es decir,$49$.

RU: no Podemos entrar en el interior de la plaza, pero ahora estamos en su frontera, por lo que debemos seguir. Vamos a llegar a la parte superior izquierda o inferior derecha de la esquina, de la que hay [simétricamente] $\binom{8}{1}$ formas para los próximos pasos. Esto nos da $2 \cdot 8 = 16$ formas para este caso.

UR: Dado que este caso es simétrica a la del caso anterior, el argumento y el número total de formas son las mismas, es decir,$16$.

Así tenemos un total de $49+49+16+16 = 130$ maneras de ir de $(-4,-4)$ $(4,4)$a través de la celosía de puntos de evitar el cuadrado de $-3<x,y<3$. Sin embargo, no creo que este método se puede generalizar a diferentes restricciones fácilmente, y estoy tratando de encontrar un método que puede.

Answer 2

Para esta pregunta en particular, se i s es probablemente más fácil escribir una tabla con el número de maneras de llegar a cada cuadrado se mueve arriba o a la derecha de la parte inferior izquierda. Cada valor es la suma del valor debajo de ella y el valor de su izquierda.

1   9   17  25  33  41  49  65  130
1   8   8   8   8   8   8   16  65
1   7                       8   49
1   6                       8   41
1   5                       8   33
1   4                       8   25
1   3                       8   17
1   2   3   4   5   6   7   8   9
1   1   1   1   1   1   1   1   1

Combinatoria, mirar las posiciones posibles después de ocho pasos y los números asociados a ir y a partir de ellos. Puedes hacer rutas a través de los puntos de $(4,-4)$ o $(-4,4)$ o ir a través de los puntos de $(3,-3)$ o $(-3,3)$ que te dará la respuesta $${8 \choose 0}{8 \choose 0}+{8 \choose 0}{8 \choose 0}+{8 \choose 1}{8 \choose 1}+{8 \choose 1}{8 \choose 1}=1+1+64+64=130$$

Answer 3

Comience con el número total de combinaciones para el 8 de Ups y 8 Derechos (UUUUUUUURRRRRRRR, RRLLRRLLRRLLRRLL, ...) $\frac{16!}{(8!)^2} = 12870$

Hay 8 que vamos a entrar en los espacios para la primera vez:

(-2,2) (-3,2)

(-2,1) (-3,1)

(-2,-1) (-3, -1)

(-2, -2) (-3, -2)

(-2,-2) (-2, -3)

(-1, -2) (-1, -3)

(1, -2) (1, -3)

(2,-2) (2, -3)

Encontrar [número de caminos de la (-4,-4) a la primera mitad de la entrada en el medio] * [número de rutas de acceso a (4,4) a partir de la segunda mitad de la entrada] para cada una de las 8 entradas, luego restar los números 8 de 12870.