Hace el grupo $\mathbb{R}^{\times} / \mathbb{Q}^{\times}$ tiene un subgrupo de orden 5?

Question

Hace el grupo $\mathbb{R}^{\times} / \mathbb{Q}^{\times}$ tiene un subgrupo de orden 5?

Yo no sé cómo debo enfocar este problema. Me podrían dar algunas sugerencias sobre cómo solucionar esto? Una más explicación general sobre cómo comprobar si un grupo de $G$ tiene un subgrupo $H$ orden $n$ sería más apreciada. Gracias!

Answer 1

Sugerencia: hay un no-cero número real $\alpha\in\mathbb{R}$ que es irracional, pero cuya 5ª potencia es racional?

Answer 2

Desde subgrupos de primer orden son cíclicos, la pregunta es equivalente a: hay un elemento de $\mathbb{R}^{\times}/\mathbb{Q}^{\times}$ orden $5$? Equivalentemente, existe un no-cero número real $r$$r^5 \in \mathbb{Q}$, pero $r \notin \mathbb{Q}$? Bueno, por supuesto, por ejemplo,$r=\sqrt[5]{2}$.

Answer 3

Respecto a su pregunta general, si $G$ es finito, entonces del teorema de Lagrange da una condición necesaria para la existencia de un subgrupo de $H$ orden $n$, es decir, que $n$ divide el orden de $G$. Sin embargo, esto no es suficiente en general. Para supersolvable grupos es suficiente.
Si $G$ es un infinito de grupo, entonces la existencia de un subgrupo de $H$ orden $n$ significa que existe un elemento $g\in G$ finito de orden $n$. Aquí hay muchas posibilidades. El grupo $(\mathbb{Z},+)$ no tiene ningún subgrupo $H$ oder de $n>1$. Por otro lado, existen infinidad de grupos, incluso finitely-generadas, donde todos los no-trivial subgrupo es finito, por ejemplo, la Tarski-monstruo, o Grigorchuk grupo.