Ortogonal establecidos vs ortogonal base

Question

Por alguna razón mi libro que distingue a los dos nombres.

Si un conjunto es un conjunto ortogonal, no se que hacer de inmediato una base para el subespacio $W$ ya que todos los vectores en el conjunto ortogonal son linealmente independientes, de todos modos? Entonces, ¿por qué tenemos dos diferentes palabras para la misma cosa?

Answer 1

Cuando usted dice ortogonal base quiere decir que el conjunto es una base para todo el espacio dado. Cada conjunto ortogonal es una base para algún subconjunto del espacio, pero no necesariamente para todo el espacio.

Answer 2

La razón de los diferentes términos es igual a la razón de los diferentes términos "linealmente independientes set" y "base".

Cada linealmente independientes conjunto es una base para el subespacio abarca. Pero cuando se trabaja en un espacio más grande "base" significa "máxima linealmente independientes conjunto" (no sólo abarca un subespacio sino que abarca toda la cosa).

Un conjunto ortogonal (sin el cero vector) es automáticamente linealmente independientes. Así tenemos "ortogonal conjuntos" y, a continuación, máxima son "ortogonales de las bases".

Nota: En el final estamos, básicamente, a virar el adjetivo "ortogonales". No guardamos las palabras "linealmente independiente", en el "ortogonal linealmente independientes conjunto" porque son redundantes.

Answer 3

1. Estos dos conceptos son totalmente diferentes.
2. Para "ortogonal conjunto"$M$, sólo tenemos la desigualdad de Bessel.
3. Pero, si $M$ es ortogonal, entonces obtenemos el teorema de Parseval. El punto clave es la integridad de este conjunto M en su espacio. Por ejemplo, en el espacio de dimensión finita $\mathcal{R}^3$, $\{i,j\}$ es un orthnormal conjunto, pero no una base ortonormales. Una común base ortonormales es $\{i,j,k\}$.